| Autor |
  Rouché |
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nitram999
Aktiv 
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Wohnort: Würzburg
 |  Themenstart: 2021-10-22
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Hallo, ich sitze vor folgender Aufgabe:
Seien f und h holomorph in U_2 (0) und f habe keine Nullstellen auf \pd\ \ID.
Zeige: Es existiert ein \epsilon>0, sodass f und g:=f+\epsilon*h dieselbe Anzahl an Nullstellen (mit Vielfachheiten gezählt) in \ID haben.
Ich habe dazu den folgenden Ansatz gemacht:
Wir wenden den Satz von Rouché auf den Einheitskreisrand an.
Damit f und g dieselbe Anzahl an Nullstellen in \ID haben muss folgende Ungleichung für alle z\el\ \pd\ \ID gelten:
\epsilon*abs(h(z))=abs(g(z)-f(z))0, da f auf \pd\ \ID keine Nullstellen hat.
Jetzt muss man noch zeigen, dass ein \epsilon>0 existiert, sodass diese Ungleichung erfüllt ist. Hierbei tue ich mir schwer. Vielleicht kann mir hier jemand helfen?
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nzimme10
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-22
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
wenn du eine andere Version des Satzes benutzt, dann genügt es zu zeigen, dass
$$
\varepsilon |h(z)|<|f(z)|
$$
für alle $z\in \mathbb \partial \mathbb D$ gilt. Setze
$$
m:=\min_{w\in\partial \mathbb D} |f(w)|>0, \quad M:=\max_{w\in\partial\mathbb D} |h(w)|.
$$
Überlege dir zunächst warum wir $m$ und $M$ so definieren können. Falls nun $h\equiv 0$ so ist die Behauptung klar. Sei daher o.B.d.A. $h\not\equiv 0$. Dann gilt $M>0$. Wie könnte $\varepsilon$ nun gewählt werden?
Edit: Da habe ich wohl einen Denkfehler gemacht. $h$ könnte auf $\partial \mathbb D$ natürlich identisch verschwinden.
Edit2: Das sollte dennoch kein Problem sein. Falls wirklich $M=0$ gilt, so haben wir für beliebiges $\varepsilon >0$, dass
$$
\varepsilon |h(z)|\leq \varepsilon M=0\(\endgroup\)
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nitram999
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-23
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Danke für die Antwort Nico!
Ja stimmt mit der schärferen Version von Rouché ist es schöner zu zeigen.
Also m und M können wir so definieren, da der Einheitskreisrand eine kompakte Menge ist oder? Und nach dem Satz vom Minimum und Maximum wird dort ein Minimum und ein Maximum angenommen.
Und im Fall M>0 muss man dann Epsilon kleiner als m/M wählen.
Stimmt meine Überlegung?
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nitram999
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-23
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Zu deinem Edit2:
Den Fall hast du weiter oben doch schon als klar abgearbeitet. Aber danke für die ausführliche Erklärung!
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nzimme10
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| Beitrag No.4, eingetragen 2021-10-23
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
genau so kannst du es dann machen. Die Begründung mit der Kompaktheit von $\partial \mathbb D$ und der Stetigkeit von $|f|$ sowie $|h|$ ist natürlich auch korrekt.
LG Nico
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Funktionentheorie' von nzimme10]\(\endgroup\)
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nitram999
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-23
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nzimme10
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| Beitrag No.6, eingetragen 2021-10-23
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
\quoteon(2021-10-23 00:07 - nitram999 in Beitrag No. 3)
Zu deinem Edit2:
Den Fall hast du weiter oben doch schon als klar abgearbeitet. Aber danke für die ausführliche Erklärung!
\quoteoff
Stimmt. Das Maximumprinzip impliziert in diesem Fall auch schon $h\equiv 0$.
LG Nico\(\endgroup\)
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