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Mathematik » Analysis » Diffeomorphismus
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Universität/Hochschule Diffeomorphismus
Nahu_bay
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  Themenstart: 2021-10-23

Servus an alle. Wir arbeiten gerade mit dem Transformatiossatz für Integrale und da haben wir etwas über Diffeomorphismus zwischen 2 Flächen gesehen und eine Aufgabe verstehe ich ganz nicht. Sei U=menge((u,v)\el\ \IR^2|u>-1/2)und h:U->\IR^2 definiert durch h(u,v)=(u+v,v-u^2) a) Finden Sie explizit V=h(U)=menge((x,y)\el\ \IR^2|(x,y)=h(u,v) für ein (u,v)\el\ \IR^2) b)Prüfen Sie dass h:U->V eine Koordinatentransformation ist. Das Problem verstehe ich ganz klar aber ich habe ein Problem mit einer Gleichung . das habe ich gemacht: das habe ich gemacht: (I) Nach Definition (x,y)=(u+v,v-u^2) Damit habe ich (Nach u) das folgendes System cases(u=x-v;u=+-sqrt(v-y)) (II) Nach Voraussetzung u>-1/2 dann sqrt(v-y)>-1/2 =>... => y>v-1/4 Ist das gültig? Ich denke nicht, weil y noch von v abhängt, und nicht von x Aber das Problem, ich könnte keine Gleichung finden, die nur von x und y abhängt :( Das Teil b ist mir klar, soll ich die Umkehrfunktion von h berechnen, oder? Danke Nahuel


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sonnenschein96
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-23

Hallo Nahuel, die einfachste Variante die Umkehrfunktion zu berechnen, ist wohl \(v=x-u\) in die Gleichung \(y=v-u^2\) einzusetzen und dann nach \(u\) aufzulösen. Das Ergebnis für \(u\) kannst Du dann wieder in \(v=x-u\) einsetzen. Das Gesamtergebnis sollte dann denke ich folgendes sein: \hideon \[h(U)=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,|\,y


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Nahu_bay
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-23

\quoteon(2021-10-23 16:28 - sonnenschein96 in Beitrag No. 1) Hallo Nahuel, die einfachste Variante die Umkehrfunktion zu berechnen, ist wohl \(v=x-u\) in die Gleichung \(y=v-u^2\) einzusetzen und dann nach \(u\) aufzulösen. Das Ergebnis für \(u\) kannst Du dann wieder in \(v=x-u\) einsetzen. Das Gesamtergebnis sollte dann denke ich folgendes sein: \hideon \[h(U)=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,|\,y


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sonnenschein96
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-23

\quoteon(2021-10-23 17:43 - Nahu_bay in Beitrag No. 2) Aber wie bekomme ich?: y<1/4+x \quoteoff Das kommt vom Lösen der quadratischen Gleichung, siehe hier. Die Diskriminante ist \(1^2-4\cdot1\cdot(y-x)=1+4x-4y\) und die obige Bedingung sagt damit gerade, dass die Diskriminante positiv ist. Wenn die Diskriminante gleich \(0\) ist, dann ist die Gleichung zwar auch lösbar, allerdings ergibt sich \(u=-\frac{1}{2}\) und damit \((u,v)\notin U\).


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