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| Autor |
  Beweisen, dass C¹(IR) einen Vektorraum bildet |
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lucakimoo
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 05.05.2021
Mitteilungen: 23
 |  Themenstart: 2021-10-25
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Es soll gezeigt werden, dass C^1(\IR)
einen Vektorraum bildet.
Ich weiß, dass C^1(\IR)
die Menge der einmal stetig differenzierbaren Funktionen auf R angibt.
Leider bin ich komplett ahnungslos wie ich das ganze nun beweisen sollte.
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Diophant
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-25
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
man muss hier einfach die Vektorraumaxiome nachweisen bzw. ihre Gültigkeit jeweils geeignet begründen. Beachte bzgl. der Skalarmultiplikation noch, dass der zugrunde liegende Körper hier \((\IR,+,\cdot)\) ist.
Man kann ja einmal damit anfangen, dass die Summe zweier stetig diffbarer Funktionen selbst auch wieder stetig diffbar ist. Und so weiter...
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Vektorräume' von Diophant]\(\endgroup\)
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lucakimoo
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-25
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Ich habe mir jetzt mal die Axiome des Vektorraums angeschaut und in unserem Skript sind folgende angegeben:
1. die Addition "+" ist für die Elemente der Menge definiert
1.1 Kommutativität
1.2 es gibt zu jedem Element der Menge ein inverses Element
1.3 es gibt ein "Nullelement" 0 welches Element der Menge ist
1.4 Assoziativität
2. die Skalarmultiplikation "." ist für die Elemente der Menge definiert
2.1 Assoziativität
2.2 1. Distributivgesetz muss erfüllt sein
2.3 2. Distributivgesetz muss erfüllt sein
2.4 Neutralität: 1*v=v für alle v die Element der Menge sind
Ich verstehe nun nicht wie ich das beweisen würde, da ich an sich keine Vektoren, Funktionen oder ähnliches gegeben habe die Teil der zu beweisenden Menge sind. Wie sollte ich das also allgemein formulieren?
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Diophant
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-25
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
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\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\quoteon(2021-10-25 14:11 - lucakimoo in Beitrag No. 2)
Ich verstehe nun nicht wie ich das beweisen würde, da ich an sich keine Vektoren, Funktionen oder ähnliches gegeben habe...
\quoteoff
Doch, natürlich. Und zwar jede Menge.
Die reellen Zahlen mit Additon und Multiplikation sind wie schon gesagt der zugrundeliegende Körper. Deine Skalare sind also reelle Zahlen.
Die Vektoren dieses Vektorraums sind ganz einfach alle (mindestens einmal) stetig differenzierbaren Funktionen \(f:\IR\to\IR\).
Somit sollten sich bspw. (bzgl. der Addition) das neutrale und das inverse Element leicht angeben lassen.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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lucakimoo
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-25
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Könnte man dann beim inversen Element der Addition dann folgendes schreiben?
Stetig differenzierbare Funktionen die auf ganz R definiert sind haben keine Definitionslücken somit wird für jeden x-Wert genau ein y-Wert angenommen. Somit gibt es zu jedem x\el\ C^1(\IR) genau ein -x\el\ C^1(\IR) mit x+(-x)=0
Und für das neutrale Element der Addition könnte man dann schreiben, dass f(0+x)=f(x) für alle x\el\ C^1(\IR) ?
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Diophant
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-25
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
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\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
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\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
mit der Frage der Definitionslücken hat das hier eigentlich nichts zu tun (aber es stimmt natürlich).
Das neutrale Element ist einfach die Nullfunktion und das Inverse zu einer Funktion \(f\in C^1(\IR)\) ist die Funktion \(g=-f\) (warum gehört \(g\) ebenfalls in \(C^1(\IR)?\)). Da es um reellwertige Funktionen geht, kann man die Gültigkeit von Assoziativ- und Kommutativgesetz einfach auf den Körper der reellen Zahlen zurückführen. Dort gelten sie sicherlich, also auch in unserem Vektorraum.
Ähnlich einfach kannst du die vier Eigenschaften der Skalarmultiplikation begründen (was ist hier das neutrale Element?).
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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FibreBundle
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 |  Beitrag No.6, eingetragen 2021-10-25
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Ich hoffe, ich darf mich hinzugesellen und etwas einmischen.
Vielleicht ist es sinnvol, sich erst klar zu machen, wie die Verknüfpungen so aussehen.
Wie kann ich für $f,g\in C^1(\mathbb{R})$ die Verknüpfung $f\oplus g$ definieren?
Wie kann ich für $\lambda \in (\mathbb{R},+,\cdot)$ und $f\in C^1(\mathbb{R})$ die Skalarmultiplikation $\lambda\odot f$ definieren?
Wenn man das beantworten kann, dann kann man sich überlegen wieso die Nullfunktion das neutrale Element (bezüglich $\oplus$) und die inverse Funktion von $f\in C^1(\mathbb{R})$ einfach $-f$ ist.
Mein Tipp: $\oplus$ und $\odot$ bezüglich der Bilder $f(x)$ definieren.
Wie sieht dann $(f\oplus g) (x):= ...$ aus?
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Diophant
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.7, eingetragen 2021-10-25
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
@FibreBundle:
\quoteon(2021-10-25 15:16 - FibreBundle in Beitrag No. 6)
Ich hoffe, ich darf mich hinzugesellen und etwas einmischen.
\quoteoff
Ja, natürlich (da musst du nicht fragen).
\quoteon(2021-10-25 15:16 - FibreBundle in Beitrag No. 6)
Vielleicht ist es sinnvol, sich erst klar zu machen, wie die Verknüfpungen so aussehen.
Wie kann ich für $f,g\in C^1(\mathbb{R})$ die Verknüpfung $f\oplus g$ definieren?
Wie kann ich für $\lambda \in (\mathbb{R},+,\cdot)$ und $f\in C^1(\mathbb{R})$ die Skalarmultiplikation $\lambda\odot f$ definieren?
Wenn man das beantworten kann, dann kann man sich überlegen wieso die Nullfunktion das neutrale Element (bezüglich $\oplus$) und die inverse Funktion von $f\in C^1(\mathbb{R})$ einfach $-f$ ist.
Mein Tipp: $\oplus$ und $\odot$ bezüglich der Bilder $f(x)$ definieren.
Wie sieht dann $(f\oplus g) (x):= ...$ aus?
\quoteoff
Da hast du natürlich vollkommen recht. Ich hatte in Beitrag #1 ja auch schon einen dahingehenden Anstupser gegeben, aber dass du es nochmal so konkretisiert hast, finde ich gut! 👍
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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helmetzer
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| Beitrag No.8, eingetragen 2021-10-25
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Man könnte auch so anfangen, dass alle Abb. von einer beliebigen, nicht leeren Menge nach \(\IR\) einen VR über \(\IR\) bilden.
Dann müsste man in diesem speziellen Fall nur noch nachweisen, dass es sich um einen Unterraum handelt.
Edit dank des Hinweises von Triceratops: Die Einschränkung "nicht leer" ist unnötig. Es gibt genau eine Abb. von der leeren Menge nach \(\IR\), die dann das Null-Element des Null-Raumes ist.
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lucakimoo
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-27
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Ok vielen Dank, ich denke jetzt habe ich es verstanden :)
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
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Triceratops
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Dabei seit: 28.04.2016
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 |  Beitrag No.10, eingetragen 2021-10-27
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\quoteon(2021-10-25 18:55 - helmetzer in Beitrag No. 8)
Man könnte auch so anfangen, dass alle Abb. von einer beliebigen, nicht leeren Menge nach \(\IR\) einen VR über \(\IR\) bilden.
\quoteoff
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1906
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lucakimoo hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
lucakimoo hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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