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 Unterräume von Vektorräumen |
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marie_soth
Junior 
Dabei seit: 25.10.2021
Mitteilungen: 8
 |  Themenstart: 2021-10-25
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Hallo allerseits, es geht um die folgende Aufgabe:
Zz: Wenn \(U\) und \(W\) Unterräume von \(V\) sind, mit \(V=U+W\), dann gibt es auch einen Unterraum \(\tilde{W}\), mit \(V=U\oplus \tilde{W}\).
In einer anderen Aufgabe habe ich bereits einmal gezeigt, dass folgende Aussagen äquvalent sind:
Seien \(U, W\) Unterräume von \(V\) mit \(V=U+W\):
1.) \(V=U\oplus W\)
2.) Zu jedem \(v\in V\) gibt es eindeutig bestimmte \(u\in U\) und \(w\in W\) mit \(v=u+w\)
Ich weiß nicht ob ich gerade einen Denkfehler habe, aber folgt nicht aus dieser Äquivalenz auch die oben zu zeigende Aussage??
Danke schon mal im Voraus für jede Hilfe.
LG Marie
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-25
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Hallo Marie und willkommen auf dem Matheplaneten! :)
Beachte das Wort eindeutig in dem von dir genannten Satz.
LG Nico
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marie_soth
Junior
Dabei seit: 25.10.2021
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-25
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Hi Nico,
also ich nehme mal an, dass es aufgrund des "eindeutig" nicht so wie von mir angenommen ist, aber irgendwie verstehe ich nicht so ganz warum.
Ich versuche mal die beiden Aussagen auf die eigentliche Aufgabenstellung zu übertragen, vielleicht wirds mir dann klar...
Also 1.) \(V=U\oplus \tilde{W}\) und 2.) Zu jedem \(v\in V\) gibt es eindeutig bestimmte \(u\in U\) und \(\tilde{w}\in \tilde{W}\) mit \(v=u+\tilde{w}\)
Also, ne ist mir jetzt nicht so klar geworden. Inwiefern stört denn jetzt das "eindeutig"?
LG Marie
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nzimme10
Senior
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-25
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\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
du hast ja bisher nur gegeben, dass $V=U+W$ gilt. Das bedeutet jedes Element $v\in V$ lässt sich als Summe $v=u+w$ mit $u\in U$ und $w\in W$ darstellen. Die Darstellung muss hier also keineswegs eindeutig sein. Was du nun aber zeigen möchtest ist, dass es auch einen Unterraum $\tilde W$ von $V$ gibt, so dass die Darstellung als Summe $v=u+\tilde w$ für jedes $v\in V$ eindeutig ist.
LG Nico\(\endgroup\)
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marie_soth
Junior
Dabei seit: 25.10.2021
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-25
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Achso, also muss ich jetzt zeigen, dass es ein Unterraum \(\tilde{W}\) von \(W\) gibt, sodass \(v=u+\tilde{w}\) eindeutig ist. Dies ist ja bei der anderen von mir bearbeiteten Aufgabe bereits vorgegeben. Habe ich das jetzt richtig verstanden?
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-25
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Hallo,
dass $\tilde W$ ein Unterraum von $W$ sein soll hast du in der Aufgabe oben aber unterschlagen (auch wenn das klar ist, dass es wohl so gemeint war).
Genau, bei der anderen Aufgabe war es in der 2. Aussage ja schon vorgegeben, dass diese Darstellung eindeutig ist. Bei deiner aktuellen Aufgabe ist das nicht unbedingt gegeben und du musst nun so ein $\tilde W$ finden, so dass die Darstellung eindeutig wird.
LG Nico\(\endgroup\)
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marie_soth
Junior
Dabei seit: 25.10.2021
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-25
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ok danke schon mal. darüber muss ich jetzt bisschen nachdenken, wie ich das angehe, denn momentan steh ich komplett aufm schlauch, wie ich das \(\tilde{W}\) finden kann.
Hast du vielleicht nen Tipp für mich?
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nzimme10
Senior
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| Beitrag No.7, eingetragen 2021-10-25
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Hallo,
es ist doch sicher sinnvoll wenn du nun erstmal selbst die Möglichkeit hast darüber nachzudenken! :)
Überlege dir eventuell mal was überhaupt das Problem sein könnte. Also was könnte dafür sorgen, dass die Darstellung nicht eindeutig ist? Eventuell bekommst du dann ja eine Idee wie du das beheben könntest.
LG Nico
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marie_soth
Junior
Dabei seit: 25.10.2021
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-25
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Also ich denke, das Problem was sich ergibt, kann man an sich so beispielhaft darstellen:
10=9+1=8+2=7+3=6+4 etc.
Dann wären 1,2,3,4... alle in \(W\), aber in \(\tilde{W}\) dürfte nur eine der Zahlen sein.
Ich hoffe es ist verständlich was ich meine und natürlich hoffentlich auch richtig :)
Aber wie ich \(\tilde{W}\) dann nun mathematisch ausdrücken kann, ist mir nicht so klar. Prinzipiell lässt man in \(\tilde{W}\) doch einfach alle Elemente aus \(W\) weg (bis auf eins), die zum selben \(v\) führen oder nicht?
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nzimme10
Senior
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| Beitrag No.9, eingetragen 2021-10-25
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Hallo,
diese Intuition ist gut, aber man kann nicht so einfach etwas aus einem Vektorraum entfernen und dann immer noch einen Vektorraum haben danach. Man könnte aber die selbe Idee "von hinten" aufrollen und zu $U$ nur noch die Vektoren aus $W$ hinzunehmen, die man wirklich braucht:
Setze $n=\dim(V)$ sowie $m=\dim(U)$. Wähle eine Basis $(u_1,\dots,u_m)$ von $U$ und ergänze sie zu einer Basis $(u_1,\dots,u_m,w_1,\dots,w_{n-m})$ von $V$. Setzt man nun $\tilde W:=\opn{span}(w_1,\dots,w_{n-m})$ dann überlegt man sich leicht, dass $V=U\oplus \tilde W$ gilt. Es bleibt zu zeigen, dass $\tilde W$ ein Unterraum von $W$ ist.
Kommst du damit weiter?
LG Nico\(\endgroup\)
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marie_soth
Junior
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Mitteilungen: 8
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-25
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Dadurch, dass man nur Elemente aus \(W\) hinzunimmt, folgt doch direkt \(\tilde{W}\subseteq W\). Das reicht wahrscheinlich aber noch nicht aus. Muss ich jetzt noch die Abgeschlossenheit bezüglich Addition und skalarer Multiplikation zeigen, die ja für einen Untervektorraum gefordert sind?
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nzimme10
Senior
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Mitteilungen: 2218
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| Beitrag No.11, eingetragen 2021-10-25
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Wieso sind $w_1,\dots,w_{n-m}$ alle aus $W$? Das ist meiner Meinung nach nicht sofort klar.
Wenn dem so wäre, dann gibt es aber auch nichts mehr zu zeigen. $\tilde W$ ist per definitionem ein Unterraum von $V$ und wenn zusätzlich noch $w_i\in W$ gelten würde natürlich auch ein Unterraum von $W$.
LG Nico\(\endgroup\)
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marie_soth
Junior
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-25
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Na ich dachte, da \(V=U+W\) ist und wir die Basis von \(U\) zu einer Basis von \(V\) ergänzen, dass damit klar ist, dass alle \(w_1,...w_{n-m}\) aus \(W\) sind.
Aber dem scheint wohl nicht so zu sein bzw. das es nicht so direkt folgt, wie ich mir das denke.
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nzimme10
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| Beitrag No.13, eingetragen 2021-10-25
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Um dir selbst einen Gefallen zu tun solltest du dir am besten gar nicht angewöhnen zu viel als klar zu bezeichnen. Wenn du der Meinung bist, dass eine Aussage doch klar ist, dann solltest du im Prinzip auch in der Lage sein einen (einfachen?) Beweis dafür anzugeben.
LG Nico
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marie_soth
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-25
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Ja gut, das stimmt wohl. Ich wollte damit hier ausdrücken, dass es mir so logisch richtig vorkommt, ich aber nicht in der Lage bin es mathematisch richtig zu begründen. Also ich kann mir ungefähr denken, warum es so ist, aber es zu zeigen schaffe ich nicht so wirklich, weil mir einfach der Ansatz fehlt, wie ich da rangehen soll.
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