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Logik, Mengen & Beweistechnik » Relationen und Abbildungen » Zeigen Sie: Widerspruch zu Halbordnung
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Universität/Hochschule J Zeigen Sie: Widerspruch zu Halbordnung
Firzen91
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  Themenstart: 2021-10-26

Auf einer Menge A sei eine Relation <= erklärt, und für gewisse Elemente a,b,c \el\ A mit a != b gelte a <= b <= c <= a. Zeigen Sie: Dann kann <= keine Halbordnung sein Zu Zeigen: <= ist reflexiv, antisymmetrisch und Transitiv über alle a aus A Reflexivität: es gilt: a <= b <= c <= a => a <= a a <= b <= c <= a => a <= b <= c <= a <= b => b <= c <= a <= b => b <= b a <= b <= c <= a => a <= b <= c <= a <= b <= c => c <= a <= b <= c => c <= c Antisymmetrie: es gilt a <= b <= c <= a => a <= b weiters gilt b <= c <= a => b <= a (transitivität daher muss a = b sein Angabe sagt jedoch das Elemente aus A paarweise verschieden sein sollen WIDERSPRUCH! Transitivität: es gilt: a <= b <= c <= a => a <= b => b <= c daraus muss aus regeln der transitivität folgen => a <= c es gilt jedoch laut Angabe c <= a WIDERSPRUCH! Bitte um Korrektur/Hilfe .. ich weiß das es genügt eine Eigenschaft zu zeigen die der Halbordnung widerspricht, aber ich hab mich an allen 3 versucht. Danke 👍


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ligning
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-26

$a\leq c$ und $c\leq a$ stehen nicht im Widerspruch zueinander, es gibt hier kein Problem mit der Transitivität.


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Firzen91
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-26

\quoteon(2021-10-26 14:47 - ligning in Beitrag No. 1) $a\leq c$ und $c\leq a$ stehen nicht im Widerspruch zueinander, es gibt hier kein Problem mit der Transitivität. \quoteoff stimmt ... die Relationen können wohl koexistieren wenn man das weiterdenkt \ a <= b <= c <= a => a <= b => b <= c => a <= c a <= b <= c <= a => a <= b <= c <= a <= b <= c => a <= c ist in der Menge R der relationen enthalten Danke für die Antwort =) Aber stimmt der Rest?


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ligning
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-26

Die Grundidee ist fragwürdig. Du hast fast keine Informationen über die Relation, aber meinst z.B. zu beweisen, dass sie reflexiv ist. Dass muss sie nicht sein, und du verwendest zu diesem Schluss ja auch die Transitivität, die du später erst prüfst (und sogar zunächst widerlegst!). Mal ganz davon abgesehen, dass die Grundmenge möglicherweise viele Elemente enthält, über die wir überhaupt nichts wissen. Es ist wirklich am sinnvollsten, sich auf den Widerspruch zu konzentrieren, der entsteht, wenn man annimmt, dass die Relation gleichzeitig reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.


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Firzen91
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-27

Danke für die Antwort, klingt sehr schlüsslig, nur... ich komme auf keinen vernünftigen Ansatz, wie könnte ich einen Widerspruch aufstellen ? (Bin nicht so geübt in Beweisen, Uni stellt uns nur vor vollendete Tatsachen) Für Ideen wäre ich dankbar.


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ligning
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-27

Genau so, wie du es bei der Antisymmetrie machst.


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Firzen91
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-27

Für HO muss Reflexivität und Antisymmetrie und Transitivität gelten Annahme: Reflexivität gilt, Transitivität gilt Prüfe Antisymmetrie : es gilt a <= b <= c <= a => a <= b weiters gilt b <= c <= a => b <= a (transitivität) daher muss a = b sein Angabe sagt jedoch das Elemente aus A paarweise verschieden sein sollen und widerspricht der Schlussfolgerung der Antisymmetrie. WIDERSPRUCH! Die Relation kann daher nicht gleichzeitig Antisymmetrisch und Transitiv sein, weil die Transitivität dafür sorgt das die Schlussfolgerung der Antisymmetrie nicht mehr erfüllt wird. Umgekehrt genügt es für eine HO nicht Reflexiv und Antisymmetrisch zu sein. Daher ist die genannte Relation keine HO. \squaredot würde das so funktionieren ? : ) danke


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ligning
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-10-27

Ja, aber ich hab nicht genau genug gelesen :-) Die Elemente von A sind natürlich so oder so paarweise verschieden, damit kann man nichts begründen. Entscheidend ist, dass $a\neq b$ gegeben ist.


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