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  Zeigen Sie: Widerspruch zu Halbordnung |
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Firzen91
Neu 
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 4
 |  Themenstart: 2021-10-26
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Auf einer Menge A sei eine Relation <= erklärt, und für gewisse Elemente
a,b,c \el\ A mit a != b gelte a <= b <= c <= a. Zeigen Sie: Dann kann <= keine Halbordnung sein
Zu Zeigen: <= ist reflexiv, antisymmetrisch und Transitiv über alle a aus A
Reflexivität:
es gilt:
a <= b <= c <= a
=> a <= a
a <= b <= c <= a
=> a <= b <= c <= a <= b
=> b <= c <= a <= b
=> b <= b
a <= b <= c <= a
=> a <= b <= c <= a <= b <= c
=> c <= a <= b <= c
=> c <= c
Antisymmetrie:
es gilt
a <= b <= c <= a
=> a <= b
weiters gilt
b <= c <= a
=> b <= a (transitivität
daher muss a = b sein
Angabe sagt jedoch das Elemente aus A paarweise verschieden sein sollen
WIDERSPRUCH!
Transitivität:
es gilt:
a <= b <= c <= a
=> a <= b
=> b <= c
daraus muss aus regeln der transitivität folgen
=> a <= c
es gilt jedoch laut Angabe c <= a
WIDERSPRUCH!
Bitte um Korrektur/Hilfe .. ich weiß das es genügt eine Eigenschaft zu zeigen die der Halbordnung widerspricht, aber ich hab mich an allen 3 versucht.
Danke 👍
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ligning
Senior 
Dabei seit: 07.12.2014
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Wohnort: Berlin
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-26
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$a\leq c$ und $c\leq a$ stehen nicht im Widerspruch zueinander, es gibt hier kein Problem mit der Transitivität.
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Firzen91
Neu
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 4
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-26
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\quoteon(2021-10-26 14:47 - ligning in Beitrag No. 1)
$a\leq c$ und $c\leq a$ stehen nicht im Widerspruch zueinander, es gibt hier kein Problem mit der Transitivität.
\quoteoff
stimmt ... die Relationen können wohl koexistieren wenn man das weiterdenkt
\
a <= b <= c <= a
=> a <= b
=> b <= c
=> a <= c
a <= b <= c <= a
=> a <= b <= c <= a <= b <= c
=> a <= c ist in der Menge R der relationen enthalten
Danke für die Antwort =)
Aber stimmt der Rest?
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ligning
Senior
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3525
Wohnort: Berlin
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-26
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Die Grundidee ist fragwürdig. Du hast fast keine Informationen über die Relation, aber meinst z.B. zu beweisen, dass sie reflexiv ist. Dass muss sie nicht sein, und du verwendest zu diesem Schluss ja auch die Transitivität, die du später erst prüfst (und sogar zunächst widerlegst!).
Mal ganz davon abgesehen, dass die Grundmenge möglicherweise viele Elemente enthält, über die wir überhaupt nichts wissen.
Es ist wirklich am sinnvollsten, sich auf den Widerspruch zu konzentrieren, der entsteht, wenn man annimmt, dass die Relation gleichzeitig reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.
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Firzen91
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Mitteilungen: 4
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-27
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Danke für die Antwort, klingt sehr schlüsslig, nur...
ich komme auf keinen vernünftigen Ansatz, wie könnte ich einen Widerspruch aufstellen ?
(Bin nicht so geübt in Beweisen, Uni stellt uns nur vor vollendete Tatsachen)
Für Ideen wäre ich dankbar.
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ligning
Senior
Dabei seit: 07.12.2014
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-27
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Genau so, wie du es bei der Antisymmetrie machst.
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Firzen91
Neu
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 4
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-27
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Für HO muss Reflexivität und Antisymmetrie und Transitivität gelten
Annahme: Reflexivität gilt, Transitivität gilt
Prüfe Antisymmetrie
:
es gilt
a <= b <= c <= a
=> a <= b
weiters gilt
b <= c <= a
=> b <= a (transitivität)
daher muss a = b sein
Angabe sagt jedoch das Elemente aus A paarweise verschieden sein sollen und widerspricht der Schlussfolgerung der Antisymmetrie.
WIDERSPRUCH!
Die Relation kann daher nicht gleichzeitig Antisymmetrisch und Transitiv sein, weil die Transitivität dafür sorgt das die Schlussfolgerung der Antisymmetrie nicht mehr erfüllt wird.
Umgekehrt genügt es für eine HO nicht Reflexiv und Antisymmetrisch zu sein.
Daher ist die genannte Relation keine HO. \squaredot
würde das so funktionieren ? : ) danke
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ligning
Senior
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3525
Wohnort: Berlin
| Beitrag No.7, eingetragen 2021-10-27
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Ja, aber ich hab nicht genau genug gelesen :-) Die Elemente von A sind natürlich so oder so paarweise verschieden, damit kann man nichts begründen. Entscheidend ist, dass $a\neq b$ gegeben ist.
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Firzen91 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Firzen91 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. | | Firzen91 wird per Mail über neue Antworten informiert. |
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