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Universität/Hochschule J Rieszsches Lemma
Skalhoef
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  Themenstart: 2021-10-26

Hej, ich hatte gehofft, dass mir jemand bei einer Unklarheit aus einem Buch weiterhelfen könnte. Man betrachtet den Hilbertraum $ \mathscr{H} = L^2 ( \mathbb{ R }^3 ) $ mit dem üblichen Skalarprodukt. Für eine Borelmenge $ \Delta $ führt man den Operator $ E ( \Delta ) $ ein, definiert durch $$ ( E ( \Delta ) \psi ) (x) := \mathbb{1}_{ \Delta } ( x ) \psi ( x ) $$ mit der Indikatorfunktion. Dann definiert man für $ \varphi , \psi \in \mathscr{ H } $ das komplexe Maß $E_{ \varphi , \psi }$ durch $$ E_{ \varphi , \psi } ( \Delta ) := \langle \varphi , E ( \Delta ) \psi \rangle . $$ Jetzt kommt das, was mich verwirrt: Es heisst jetzt im Buch (Quantenmechanik von Straumann) ... "Da $ E_{ \varphi , \psi } $ ein gewöhnliches beschränktes Maß ist, $ |E_{ \varphi , \psi } ( \Delta ) | \leq || \varphi || \, || \psi || $, so wird fuer jede beschränkte Borel-Funktion $ f $ durch $ \int f \mathrm{d} E_{ \varphi , \psi } $ eine beschränkte Sesquilinearform definiert. Nach dem Rieszschen Lemma existiert deshalb ein eindeutiger beschränkter Operator $ \hat{E}( f )$ sodass $$ \langle \varphi , \hat{E}(f) \psi \rangle = \int f( \lambda) \mathrm{d} E_{ \varphi, \psi } ( \lambda ) \text{ "} $$ ... OK. Also was mich im wesentlichen verwirrt ist der Ausdruck $$ \int f( \lambda) \mathrm{d} E_{ \varphi, \psi } ( \lambda ) \stackrel{ ? }{ \equiv } \int f \mathrm{d} E_{ \varphi, \psi } $$ und das Rieszsche Lemma... Ist mit letzterem das gemeint, was man unmittelbar in der Wikipedia findet? (Also das hier?) Ich glaube doch eher nicht, oder? Ich würde mich über Hilfe sehr freuen. Många hälsningar Skalhoef


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-26

\quoteon(2021-10-26 22:10 - Skalhoef im Themenstart) Ist mit letzterem das gemeint, was man unmittelbar in der Wikipedia findet? \quoteoff Was hast du denn gefunden? Gemeint ist das hier. --zippy


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sonnenschein96
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-10-26

Hallo Skalhoef, \quoteon(2021-10-26 22:10 - Skalhoef im Themenstart) ... OK. Also was mich im wesentlichen verwirrt ist der Ausdruck $$ \int f( \lambda) \mathrm{d} E_{ \varphi, \psi } ( \lambda ) \stackrel{ ? }{ \equiv } \int f \mathrm{d} E_{ \varphi, \psi } $$ \quoteoff Das ist reine Notationssache, ob man das \(\lambda\) da reinschreibt oder nicht. \quoteon(2021-10-26 22:10 - Skalhoef im Themenstart) und das Rieszsche Lemma... Ist mit letzterem das gemeint, was man unmittelbar in der Wikipedia findet? \quoteoff Du kannst Dir leicht überlegen, dass \((\varphi,\psi)\mapsto\int_{\mathbb{R}^3}f\,dE_{\varphi,\psi}\) sesquilinear ist und \[\left|\int_{\mathbb{R}^3}f\,dE_{\varphi,\psi}\right|\leq\int_{\mathbb{R}^3}|f|\,d|E_{\varphi,\psi}|\leq\|f\|_\infty|E_{\varphi,\psi}|(\mathbb{R}^3)\leq\|f\|_\infty\|\varphi\|_2\|\psi\|_2,\] woraus die Stetigkeit folgt. Die letzte Ungleichung sieht man wie folgt: Ist \((A_i)\) eine Partition von \(\mathbb{R}^3\), so gilt \[\sum_i|E_{\varphi,\psi}(A_i)|=\sum_i|\langle\varphi,E(A_i)\psi\rangle_2|=\sum_i\left|\int_{A_i}\overline{\varphi}\psi\right|\leq\sum_i\int_{A_i}|\overline{\varphi}\psi|=\int_{\mathbb{R}^3}|\overline{\varphi}\psi|\leq\|\varphi\|_2\|\psi\|_2,\] woraus \(|E_{\varphi,\psi}|(\mathbb{R}^3)\leq\|\varphi\|_2\|\psi\|_2\) folgt, siehe hier. Nach dem Satz von Lax-Milgram gibt es also einen beschränkten Operator \(\hat{E}(f)\) mit \(\int_{\mathbb{R}^3}f\,dE_{\varphi,\psi}=\langle\varphi,\hat{E}(f)\psi\rangle_2\) für alle \(\varphi,\psi\in L^2(\mathbb{R}^3)\). Der Beweis basiert auf dem Satz von Fréchet-Riesz, welcher wohl gemeint ist. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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Skalhoef
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-27

Hej, ihr seid ja blitzschnell! :D Ich danke euch beiden! \quoteon(2021-10-26 22:56 - zippy in Beitrag No. 1) \quoteon(2021-10-26 22:10 - Skalhoef im Themenstart) Ist mit letzterem das gemeint, was man unmittelbar in der Wikipedia findet? \quoteoff Was hast du denn gefunden? \quoteoff Sorry, hatte vergessen den Link einzufügen. Er ist jetzt oben. Ich hatte das hier gefunden. Danke für die beiden Links und die Ausführungen. Die Wikipedia-Einträge die Ihr verlinkt habt sehen vielversprechend aus und ich glaube, dass ich das alleine schaffe. Was mich aber noch verwirrt ist der Ausdruck $$ \int f( \lambda) \mathrm{d} E_{ \varphi, \psi } ( \lambda ) \equiv \int f \mathrm{d} E_{ \varphi, \psi }. $$ Sorry, das hatte ich nicht klar genug betont: Ich verstehe gar nicht wie dieses Integral, oder so etwas wie $\mathrm{d} E_{ \varphi, \psi } ( \lambda ) $ zu verstehen ist... Das $ \mathrm{d} $ kenne ich sonst nur im Zusammenhang mit Ableitungen und Differenzialformen... Aber ich glaube hier sollte es anders zu verstehen sein? Hälsningar Skalhoef


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sonnenschein96
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-10-27

\quoteon(2021-10-27 09:27 - Skalhoef in Beitrag No. 3) Ich verstehe gar nicht wie dieses Integral, oder so etwas wie $\mathrm{d} E_{ \varphi, \psi } ( \lambda ) $ zu verstehen ist... Das $ \mathrm{d} $ kenne ich sonst nur im Zusammenhang mit Ableitungen und Differenzialformen... Aber ich glaube hier sollte es anders zu verstehen sein? \quoteoff Das \(\mathrm{d}\) bedeutet gar nichts, es ist reine Notation. Du integrierst einfach die Funktion \(f\) bezüglich des Maßes \(E_{\varphi,\psi}\), siehe hier bzw. hier, da wir es ja mit einem komplexen Maß zu tun haben.


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Skalhoef
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-29

Hej sonnenschein96, ich danke dir fuer deine Antwort. Im zweiten Wikipedia Artikel... (ueber "complex measure", mit unserem Datum, da der Artikel in ferner Zukunft wohl ueberarbeitet werden wird) ... meinst du da dann den zweiten Vorschlag der dort vorgestellt wird? Also den Teil der anfaengt mit "Another approach is to (...)" ? Was mich halt irgendwie verwundert ist, wie man diesen "Abstrakten Ausdruck" $$ \int f \mathrm{d} \mu $$ los wird um dann schlussendlich doch wieder zu einem ''gewoehnlichen'' Riemann-Integral zu kommen. (Im obigen Abschnitt des Wikipedia Artikels wird der Ausdruck $$ \int f \mathrm{d} \mu $$ dann ueber Ausdruecke der Gestalt $$ \int f \mathrm{d} \mu_{1, 2}^{ \pm } $$ definiert... (Zaehneknirsch...) - Kann man das ueberhaupt so als eine ''knappe Frage'' in einem Foreneintrag hier klaeren, oder mache ich hier gerade ein grosses Fass auf (ohne es zu wissen)? Hälsningar Skalhoef


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sonnenschein96
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-10-29

\quoteon(2021-10-29 21:25 - Skalhoef in Beitrag No. 5) Was mich halt irgendwie verwundert ist, wie man diesen "Abstrakten Ausdruck" $$ \int f \mathrm{d} \mu $$ los wird um dann schlussendlich doch wieder zu einem ''gewoehnlichen'' Riemann-Integral zu kommen. \quoteoff Zu einem Riemann-Integral wirst Du nicht kommen, wir betrachten hier ja Lebesgue-Integrale (schon \(L^2(\mathbb{R}^3)\) ist über Lebesgue-Integrale definiert). Die Ausdrücke der Gestalt \(\int f\,d\mu_{1,2}^\pm\) sind ja aber "gewöhnliche" Lebesgue-Integrale, da \(\mu_{1,2}^\pm\) "gewöhnliche" (also nichtnegative) Maße sind. Wegen \[E_{\varphi,\psi}(\Delta)=\langle \varphi, E(\Delta)\psi\rangle_2=\int_{\mathbb{R}^3}\overline{\varphi}E(\Delta)\psi\,d\lambda^3=\int_{\mathbb{R}^3}\overline{\varphi}1_\Delta\psi\,d\lambda^3=\int_{\Delta}\overline{\varphi}\psi\,d\lambda^3\] gilt denke ich, dass \[\int_{\mathbb{R}^3}f\,dE_{\varphi,\psi}=\int_{\mathbb{R}^3}f\overline{\varphi}\psi\,d\lambda^3\] ist, womit Du am Ende wieder bei einem ganz gewöhnlichen Volumenintegral landest. Wegen \[\int_{\mathbb{R}^3}f\,dE_{\varphi,\psi}=\langle \varphi, \hat{E}(f)\psi\rangle_2=\int_{\mathbb{R}^3}\overline{\varphi}\hat{E}(f)\psi\,d\lambda^3\] folgt damit aber \(\hat{E}(f)\psi=f\psi\), d.h. \(\hat{E}(f)\) ist einfach ein Multiplikationsoperator. Warum man dann aber mittels des Satzes von Riesz argumentiert, wenn man das auch direkt nachrechnen kann, ist mir schleierhaft. Vielleicht habe ich auch einen Denkfehler. @zippy: Eventuell kannst Du meine Ausführungen ja bestätigen oder widerlegen?


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zippy
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-10-29

\quoteon(2021-10-29 22:15 - sonnenschein96 in Beitrag No. 6) Warum man dann aber mittels des Satzes von Riesz argumentiert, wenn man das auch direkt nachrechnen kann, ist mir schleierhaft. \quoteoff Der Abschnitt aus dem Startbeitrag ist ein einführendes Beispiel in dem Kapitel, das sich mit dem Spektralsatz und dem Borelschen Funktionalkalkül beschäftigt. In diesem einfachen Beispiel kann man natürlich $\hat E(f)$ explizit als Multiplikationsoperator defineren. Aber es geht gerade darum, so vorzugehen, dass sich das Verfahren vom Ortsoperator auf beliebige selbstadjungierte Operatoren übertragen lässt. Und da kommt der Rieszsche Darstellungssatz ins Spiel.


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sonnenschein96
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-10-29

@zippy: Alles klar, ich hatte gerade nicht in das Buch geschaut und mir war nicht klar, dass dies nur ein einführendes Beispiel ist.


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Skalhoef
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-30

Hej, ich danke euch beiden. Euch scheinen die Dinge ja relativ klar und logisch vorzukommen... Ich denke diese Ausfuehrungen reichen mir erst einmal, auch wenn der Groschen noch nicht ganz gefallen ist... Aber vielleicht / hoffentlich klaert sich das ja im Laufe der Zeit. :) Ich mache einen Haken dran! Hälsningar Skalhoef


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