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Universität/Hochschule J Beweis über welche Mengen erzeugen Borel-σ-Algebra
Deranged_Octopus
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  Themenstart: 2021-10-27

https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54780_Lemma1.4.png Guten Abend, den Beweis in der obigen Abbildung verstehe ich leider nicht so ganz. Warum ist die unendliche Vereinigung von den Intervalle (a,b] (mit a und b rational) gleich ein Intervall (c,d) (mit c und d reell)? Es geht um die Formel daunten im Beweis. Oder habe ich diese Vereinigung nicht richtig verstanden? Vielen Dank! LG


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Kezer
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}}\) \quoteon(2021-10-27 20:16 - Deranged_Octopus im Themenstart) Warum ist die unendliche Vereinigung von den Intervalle (a,b] (mit a und b rational) gleich ein Intervall (c,d) (mit c und d reell)? \quoteoff Probier ein Beispiel aus: Wieso gilt z.B. $$ (0,1) = \bigcup_{a \in \Q, \ a < 1} (0,a]?$$ Zeige Teilmengenrelationen wie im 1. Semester.\(\endgroup\)


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Deranged_Octopus
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-27

Hallo Kezer, ich bin nicht ganz sicher. Falls ich Sie richtig verstanden habe, jedes (0,a] kann als R\(a,unendlich) dargestellt werden. Wegen der Borel-σ-Algebra muss die unendliche Vereinigung auf der rechten Seite auch offen bleiben. Ungefähr so? Ich habe versucht und in den Notizen gesucht, aber habe leider nicht so viel an der Teilmengenrelation erinnert. LG


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Kezer
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}}\) Nein, du bringst hier gerade einiges durcheinander. Es geht hier kein Stück um Maßtheorie und die Eigenschaften einer $\sigma$-Algebra haben a priori auch nichts mit Topologie zu tun (und es geht hier auch nicht um Topologie). Wie hast du denn im 1. Semester gezeigt, dass zwei Mengen gleich sind? Fangen wir so an: Wieso ist die rechte Seite enthalten in der linken Seite?\(\endgroup\)


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Deranged_Octopus
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-28

Hallo Kezer, zwei Mengen A, B sind gleich, wenn \(A \subseteq B\) und \(B \supseteq A\). Offensichtlich gilt \(L \supseteq R\). Und \(L \subseteq R\), weil für beliebige rationale Zahl a in (0,1) kann ich ein Intervall (0,a] finden. Für beliebige reelle Zahl in (0,1) kann ich einfach eine rationale a größer finden? (Rationale Zahlen sind dicht in der Nähe einer reellen Zahl, ungefähr so) LG


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Kezer
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}}\) \quoteon(2021-10-28 10:08 - Deranged_Octopus in Beitrag No. 4) zwei Mengen A, B sind gleich, wenn \(A \subseteq B\) und \(B \supseteq A\). \quoteoff Ja, gut. 🙂 \quoteon(2021-10-28 10:08 - Deranged_Octopus in Beitrag No. 4) Offensichtlich gilt \(L \supseteq R\). \quoteoff Was ist dann das Argument? Wieso gilt die umgekehrte Inklusion? \(\endgroup\)


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Kezer
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-10-28

Du hast deinen Beitrag noch editiert. Es sieht gut aus. 👍


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Deranged_Octopus
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-28

\quoteon(2021-10-28 10:15 - Kezer in Beitrag No. 6) Du hast deinen Beitrag noch editiert. Es sieht gut aus. 👍 \quoteoff Hallo Kezer, vielen Dank! Ich denke, jetzt habe ich sowohl Ihren Bsp. als auch den Beweis daoben verstanden. LG


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