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 Menge von Vektorräumen |
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JoJoLion
Junior 
Dabei seit: 24.10.2021
Mitteilungen: 9
 |  Themenstart: 2021-10-29
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Hallo,
Wenn jeder Vektorraum isomorph zu einem Koordinatenraum ist, ist dann V immer Teilmenge eines Koordinatenraums?
Vielen Dank im Vorraus
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Triceratops
Wenig Aktiv 
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-29
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StrgAltEntf
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-10-30
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Doch 🙂
... vorausgesetzt, V ist ein Vektorraum
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StefanVogel
Senior 
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-10-30
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Für mich wäre es ein Widerspruch zur Wikipedia Standardbasis, wenn jeder Vektorraum eine Standardbasis hat, nämlich diejenige Teilmenge von V, die der Teilmenge "Standardbasis" des Koordinatenraums entspricht.
Viele Grüße,
Stefan
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zippy
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 | Beitrag No.4, eingetragen 2021-10-30
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\quoteon(2021-10-30 01:55 - StrgAltEntf in Beitrag No. 2)
Doch 🙂
... vorausgesetzt, V ist ein Vektorraum
\quoteoff
Und warum soll das so sein?
\quoteon(2021-10-30 08:23 - StefanVogel in Beitrag No. 3)
nämlich diejenige Teilmenge von V, die der Teilmenge "Standardbasis" des Koordinatenraums entspricht.
\quoteoff
Diese Menge kann durchaus leer sein (Beispiel: $\{(t,t):t\in k\}\subset k^2$), daher verstehe ich das Argument nicht.
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StefanVogel
Senior
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-10-30
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Die Frage war, ob V immer eine Teilmenge des Koordinatenraumes ist. Die Punkte einer Geraden mit einem vorher festgelegten Nullpunkt bilden einen Vektorraum bezüglich der Vektoraddition und skalaren Multiplikation. Doch es lässt sich dort keine Standardbasis bestimmen. Wenn man von vornherein für V eine Teilmenge des Koordinatenraumes wählt, dann lässt sich in diesem V eine Standardbasis finden, da nutzt das Argument nichts. In deinem Beispiel erkenne ich \((1,1)\) als Standardbasis, also eine Basis, die laut Wikipedia "aufgrund ihrer Konstruktion unter allen möglichen Basen ausgezeichnet ist".
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zippy
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| Beitrag No.6, eingetragen 2021-10-30
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\quoteon(2021-10-30 09:57 - StefanVogel in Beitrag No. 5)
Wenn man von vornherein für V eine Teilmenge des Koordinatenraumes wählt, dann lässt sich in diesem V eine Standardbasis finden, da nutzt das Argument nichts.
\quoteoff
Und in welchem Fall nutzt das Argument etwas? Ich verstehe es leider immer noch nicht.
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StefanVogel
Senior
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| Beitrag No.7, eingetragen 2021-10-30
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Betrachte nochmal mit mir zusammen die Punkte einer Geraden mit vorher festgelegten Nullpunkt. Angenommen, dieser Vektorraum ist eine Teilmenge des Koordinatenraumes. Schon bevor ich weiß, welche Teilmenge das ist, weiß ich, dass ich für die Punkte der Geraden eine Standardbasis festlegen kann. Ich muss ja ein Argument verwenden, das ohne Kenntnis der Teilmenge funktioniert. Sobald ich die Teilmenge konkret kenne, kann ich die Standardbasis direkt angeben. In deinem Beispiel wäre das \((1,1)\). Du hast aber nur eine einzige Möglichkeit, die Teilmenge anzugeben, weil eine Menge nur auf eine einzig mögliche Weise Teilmenge einer anderen Menge sein kann, laut Definition von Teilmenge.
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StrgAltEntf
Senior
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| Beitrag No.8, eingetragen 2021-10-30
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\quoteon(2021-10-30 09:17 - zippy in Beitrag No. 4)
\quoteon(2021-10-30 01:55 - StrgAltEntf in Beitrag No. 2)
Doch 🙂
... vorausgesetzt, V ist ein Vektorraum
\quoteoff
Und warum soll das so sein?
\quoteoff
Wenn jeder Hund grün ist, dann ist Waldi (sofern Waldi ein Hund ist) grün.
Beachte außerdem, dass \(V\subseteq V\).
Ich habe jetzt aber nicht behauptet, dass Waldi grün ist 🙃
Dass Thema Koordinatenraum wurde übrigens bereits hier (https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=255919&start=0#p1859099) vom selben TS angesprochen
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zippy
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| Beitrag No.9, eingetragen 2021-10-30
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\quoteon(2021-10-30 11:11 - StrgAltEntf in Beitrag No. 8)
Wenn jeder Hund grün ist, dann ist Waldi (sofern Waldi ein Hund ist) grün.
\quoteoff
Die Voraussetzung ist aber nicht, dass jeder Vektorraum ein Koordinatenraum ist, sondern dass jeder Vektorraum isomorph zu einem Koordinatenraum ist.
Warum sollte ein Vektorraum, der isomorph zu einem Koordinatenraum ist (und zumindest im endlichdimensionalen Fall sind wir uns wohl einig, dass das so ist), Teilmenge eines Koordinatenraums sein?
Teilmenge welchen Koordinatenraums ist der nulldimensionale $\mathbb R$-Vektorraum $\{\spadesuit\}$?
$\bigl[$ Wenn wir den von Triceratops empfohlenen Standpunkt einnehmen und "ist Teilmenge von" durch "ist (durch einen Monomorphismus) einbettbar in" ersetzen, sieht es anders aus.$\bigr]$
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zippy
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| Beitrag No.10, eingetragen 2021-10-30
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\quoteon(2021-10-30 10:50 - StefanVogel in Beitrag No. 7)
Schon bevor ich weiß, welche Teilmenge das ist, weiß ich, dass ich für die Punkte der Geraden eine Standardbasis festlegen kann.
\quoteoff
Woher weißt du, dass du eine Standardbasis festlegen kannst? Wodurch soll die ausgezeichnet sein?
\quoteon(2021-10-30 10:50 - StefanVogel in Beitrag No. 7)
Du hast aber nur eine einzige Möglichkeit, die Teilmenge anzugeben, weil eine Menge nur auf eine einzig mögliche Weise Teilmenge einer anderen Menge sein kann, laut Definition von Teilmenge.
\quoteoff
Das klingt für mich mehr philosophisch als überzeugend.
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JoJoLion
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|  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-30
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Danke für die Antworten
Also ja, meinte mit V halt die Menge in einem Vektorraum und jetzt habe ich gesehen, das V zum Beispiel: \(V \subset \mathbb{R}^{3}{x,y,z|x,y,z \in R} \) sein kann, so der standard \(\mathbb{R}^{3}\) ist ja ein Koordinatenraum oder (?) und dann habe ich mir den Wikipedia Artikel zu Koordinatenräumen durchgelesen und da stand dann unter Isomorphie, das ein endlich dimensionaler Vektorraum isomorph zu einem Koordiatenraum ist, weil jeder Vektor eindeutig als Tupel von K^n dargestellt werden kann und dann dachte ich mir halt, wenn das so ist, muss doch V immer Teilmenge von K^n sein.
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zippy
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| Beitrag No.12, eingetragen 2021-10-30
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\quoteon(2021-10-30 16:30 - JoJoLion in Beitrag No. 11)
das ein endlich dimensionaler Vektorraum isomorph zu einem Koordiatenraum ist, weil jeder Vektor eindeutig als Tupel von K^n dargestellt werden kann
\quoteoff
Das ist auch richtig.
\quoteon(2021-10-30 16:30 - JoJoLion in Beitrag No. 11)
und dann dachte ich mir halt, wenn das so ist, muss doch V immer Teilmenge von K^n sein.
\quoteoff
Das ist nicht richtig, weil "isomorph" eben deutlich weniger als "gleich" ist.
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Triceratops
Wenig Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
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| Beitrag No.13, eingetragen 2021-10-30
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Beispiel: $\{(x,y) \in \IR^2 : x+y=0\}$ (eine Gerade) ist zu $\IR$ isomorph, aber nicht Teilmenge von $\IR$.
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zippy
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| Beitrag No.14, eingetragen 2021-10-30
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\quoteon(2021-10-30 22:00 - Triceratops in Beitrag No. 13)
Beispiel: $\{(x,y) \in \IR^2 : x+y=0\}$ (eine Gerade) ist zu $\IR$ isomorph, aber nicht Teilmenge von $\IR$.
\quoteoff
Das ist allerdings kein Gegenbeispiel zu der Behauptung aus dem Startbeitrag, weil diese Gerade ja immer noch Teilmenge des Koordinatenvektorraums $\mathbb R^2$ ist.
(Im Startbeitrag wurde ja nicht verlangt, dass der Vektorraum $V$ Teilmenge des Koordinatenvektorraums ist, zu dem er isomorph ist.)
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Triceratops
Wenig Aktiv
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| Beitrag No.15, eingetragen 2021-10-30
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Ja, aber ich bezog mich (so wie du) auf die Aussage in Beitrag 11.
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JoJoLion
Junior
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-31
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Danke Nochmals,
Also es ist mir egal, von welchem Raum der Teilmenge ist, muss nicht Teilmenge des Raumes sein, zu dem er Isomorph ist, hat da noch jemand ein Gegenbeispiel?
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zippy
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| Beitrag No.17, eingetragen 2021-10-31
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\quoteon(2021-10-31 00:34 - JoJoLion in Beitrag No. 16)
hat da noch jemand ein Gegenbeispiel?
\quoteoff
In Beitrag Nr. 9 ist ein Gegenbeispiel zu der Behauptung aus dem Startbeitrag.
Und du kannst dir leicht analoge Gegenbeispiele in beliebigen Dimensionen basteln: Nimm einen Vektorraum $V$ und betrachte $\widetilde V:=\{(v,\spadesuit):v\in V\}$ mit $(v,\spadesuit)+(w,\spadesuit)=(v+w,\spadesuit)$ und $\lambda(v,\spadesuit)=(\lambda v,\spadesuit)$. $\widetilde V$ ist offensichtlich isomorph zu $V$, aber – unabhängig von $V$ – keine Teilmenge eines Koordinatenraums.
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StefanVogel
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| Beitrag No.18, eingetragen 2021-11-01
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\quoteon(2021-10-30 11:46 - zippy in Beitrag No. 10)
\quoteon(2021-10-30 10:50 - StefanVogel in Beitrag No. 7)
Schon bevor ich weiß, welche Teilmenge das ist, weiß ich, dass ich für die Punkte der Geraden eine Standardbasis festlegen kann.
\quoteoff
Woher weißt du, dass du eine Standardbasis festlegen kannst? Wodurch soll die ausgezeichnet sein?
\quoteoff
Standardbasis zu sein ist keine Eigenschaft, die sich aus der Definition eines Vektorraums herleiten lässt, sondern eine Eigenschaft eines ganz bestimmten Vektorraums (des Koordinatenraums), auf die man sich zusätzlich geeinigt und dann festgelegt hat (und jeder kann sich eine andere passende aussuchen, wenn diese mal nicht so gut geeignet ist). Wenn nun jeder Vektorraum Teilmenge eines Koordinatenraums wäre, könnte man doch für jeden Vektorraum eine Standardbasis festlegen, so war meine Überlegung. Sie könnte dadurch ausgezeichnet sein, dass diese Standardbasis die Koordinaten des Koordinatenraumes verwendet oder die Einheitslänge. Für mich wären das genug Anhaltspunkte, um sich auf eine Standardbasis in jedem Vektorraum zu einigen. Standardbasis muss nicht eine Basis mit Koordinaten (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)... sein, sondern eine Basis, die man nach einer bestimmten Verfahrensweise unabhängig voneinander eindeutig wiederfindet.
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zippy
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| Beitrag No.19, eingetragen 2021-11-01
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\quoteon(2021-11-01 05:58 - StefanVogel in Beitrag No. 18)
Wenn nun jeder Vektorraum Teilmenge eines Koordinatenraums wäre, könnte man doch für jeden Vektorraum eine Standardbasis festlegen, so war meine Überlegung.
\quoteoff
Dann verstehe ich jetzt, worauf du hinauswillst.
Eine Vorschrift zu definieren, die jedem Unterraum eines (endlichdimensionalen) Koordinatenraums eine eindeutige "Standardbasis" zuordnet, sollte prinzipiell kein Problem sein.
Um aus dieser Idee einen Beweis zu machen, müsste man aber erstmal allgemein definieren, was es bedeuten soll, dass man einem Vektorraum eine Standardbasis zuordnet, und dann zeigen, dass das nicht für jeden Vektorraum möglich ist.
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zippy
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| Beitrag No.20, eingetragen 2021-11-01
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@StrgAltEntf: Ist dir das Problem, das dein Grüne-Hunde-Argument hat, inzwischen klar geworden?
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.21, eingetragen 2021-11-01
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\quoteon(2021-11-01 12:16 - zippy in Beitrag No. 20)
@StrgAltEntf: Ist dir das Problem, das dein Grüne-Hunde-Argument hat, inzwischen klar geworden?
\quoteoff
Ja klar, vielen Dank für die Richtigstellung! Das Wort "isomorph" hatte ich ausgeblendet.
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
StefanVogel
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| Beitrag No.22, eingetragen 2021-11-07
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\quoteon(2021-11-01 11:49 - zippy in Beitrag No. 19)
\quoteon(2021-11-01 05:58 - StefanVogel in Beitrag No. 18)
Wenn nun jeder Vektorraum Teilmenge eines Koordinatenraums wäre, könnte man doch für jeden Vektorraum eine Standardbasis festlegen, so war meine Überlegung.
\quoteoff
Dann verstehe ich jetzt, worauf du hinauswillst.
Eine Vorschrift zu definieren, die jedem Unterraum eines (endlichdimensionalen) Koordinatenraums eine eindeutige "Standardbasis" zuordnet, sollte prinzipiell kein Problem sein.
Um aus dieser Idee einen Beweis zu machen, müsste man aber erstmal allgemein definieren, was es bedeuten soll, dass man einem Vektorraum eine Standardbasis zuordnet, und dann zeigen, dass das nicht für jeden Vektorraum möglich ist.
\quoteoff
Danke für deine Geduld, das verstehen zu wollen. Ich hatte schon mit Fortsetzung gezögert. Würde auch ein Link auf eine solche Aussage reichen? Zum Beispiel in Wikipedia Standardbasis in unendlichdimensionalen Räumen
"Der Vektorraum aller Abbildungen \(f\colon M\to K\) besitzt hingegen, sofern \(M\) unendlich ist, keine Standardbasis.",
denn ich weiß nicht, wie ich sowas beweisen kann. Im gleichen Abschnitt steht auch
"Ist \(K\) ein Körper und \(M\) eine beliebige (insb. möglicherweise unendliche) Menge, so bilden die endlichen formalen Linearkombinationen von Elementen aus \(M\) einen Vektorraum. Dann ist \(M\) selbst Basis dieses Vektorraumes und wird als dessen Standardbasis bezeichnet."
was als weiteres Gegenbeispiel für
\quoteon(2021-10-31 00:34 - JoJoLion in Beitrag No. 16)
Also es ist mir egal, von welchem Raum der Teilmenge ist, muss nicht Teilmenge des Raumes sein, zu dem er Isomorph ist, hat da noch jemand ein Gegenbeispiel?
\quoteoff
geeignet ist. Für \(M\) braucht man nur eine Menge nehmen, die keine Teilmenge irgendeines Koordinatenraumens ist.
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zippy
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| Beitrag No.23, eingetragen 2021-11-07
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Das Problem ist, dass du zuerst den Begriff der Standardbasis erheblich ausdehnst, um allen Unterräumen eines Koordinatenraumes eine Standardbasis zuweisen zu können. Anschließend helfen dir Aussagen, die sich auf den Begriff der Standardbasis im üblichen Sinne beziehen, nicht mehr weiter.
(Ich hätte auch schon Schwierigkeiten, die Definition von Standardbasis, die du verwendest, exakt hinzuschreiben.)
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StefanVogel
Senior
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Wohnort: Raun
| Beitrag No.24, eingetragen 2021-11-08
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Zur Vereinfachung betrachte ich nur irgendeinen eindimensionalen Vektorraum, beispielsweise wieder eine Gerade mit festgelegtem Koordinatenurprung. Als existierende Definition "Standardbasis" verwende ich
\quoteon(2021-11-07 05:39 - StefanVogel in Beitrag No. 22)
"Ist \(K\) ein Körper und \(M\) eine beliebige (insb. möglicherweise unendliche) Menge, so bilden die endlichen formalen Linearkombinationen von Elementen aus \(M\) einen Vektorraum. Dann ist \(M\) selbst Basis dieses Vektorraumes und wird als dessen Standardbasis bezeichnet."
\quoteoff
und erweitere sie dahingehend, wenn ein gegebener Vektorraum nicht über eine solchen Menge \(M\) definiert wurde, aber mit dem nachfolgenden Verfahren eindeutig eine solche Menge \(M\) bestimmt werden kann, dass diese Menge \(M\) auch "Standardbasis" heißen soll.
Wenn nun der betrachtete eindimensionale Vektorraum stets Teilmenge irgendeines Koordinatenraumes wäre (es muss nicht ein Unterraum sein, eine Sinuskurve oder Schraubenlinie ginge auch, wo als Vektoraddition die Bogenlänge addiert und damit der Kurvenpunkt der Summe bestimmt wird) dann würde ich vorübergehend den Ursprung des Koordinatenraumes auf das Nullelement des Vektorraumes verschieben, dann diejenigen Vektorelemente bestimmen, die den geringsten Abstand zur Kugeloberfläche der Kugel um den Koordinatenursprung mit Radius 1 haben. Falls das mehr als ein Punkt ist, würde ich von denen den kleinsten Abstand zum ersten Einheitsvektor des Koordiantenraumes bestimmen, wenn das immernoch mehrere Punkte sind, diejenigen mit dem kleinsten Anstand zum zweiten Einheisvektor (also der Spitze dieses Vektors im verschobenen Koordinatenraum) und so weiter mit dem dritten, vierten... Einheitsvektor. Das solange, bis ich einen einzigen Punkt erhalte. Der sollte irgendwann eindeutig sein (Beweis???) und dem nehme ich als eindeutig bestimmtes Element für die Festlegung der Menge \(M\) als Standardbasis.
An der Stelle gebe ich dir Recht, das reicht nicht aus, um es als Widerspruch zu vorhandenen Ausagen "Standardbasis existiert nicht immer" zu verwenden. Da müsste man weiter nachforschen, wie das bewiesen wurde, und welche Definition für "Standardbasis" dabei verwendet wurde. Doch das sehe ich nicht als meine Aufgabe an, weil ich nicht glaube, dass jeder Vektorraum Teilmenge eines Koordinatenraumes ist. Es war nur so eine Überlegung in der Richtung, dass man dann eine Aussage wie "nicht jeder Vektorraum hat eine Standardbasis" eventuell weglassen könnte mit einer erweiterten Definition von "Standaŕdbasis" und wenn das möglich wäre, wäre das bestimmt schon längst geschehen.
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