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| Autor |
  Produkt zweier messbarer Funktionen konvergiert nicht nach Maß |
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dendi
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 13.10.2021
Mitteilungen: 22
 |  Themenstart: 2021-11-02
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hallo zusammen,
Sei (\Omega,A,\mue) ein Massraum und \lambda bezeichnet das Lebesgue Mass auf \IR^n.
Bis jetzt habe ich immer gesehen, dass folgendes existiert :
Wenn f,g, f_1 , ....,f_n , g_1 , ....,g_n messbare funktionen auf \IR,
und (1) f_n( ->\lambda )f und g_n ( ->\lambda ) g,
dann
(2) f_n * g_n ( ->\lambda ) f*g
Ich frage mich nun, gibt es auch den Fall, dass (1) gilt aber (2) nicht ? Wenn ja könnte mir vielleicht jemand ein kleines Beispiel machen, so dass ich mir das besser vorstellen kann?
(PS: sorry für ( ->\lambda ) eigentlich sollte \lambda auf dem Pfeil sein aber ich weiss nicht wie )
Vielen Danke für die Hilfe
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nzimme10
Senior 
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Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-02
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo dendi,
mit $f_n\stackrel{\lambda}{\to} f$ meinst du die Konvergenz nach Maß, oder? Falls dem so ist, dann stimmt die Aussage im Allgemeinen nicht.
Meinst du eine andere Konvergenz damit?
LG Nico
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Maßtheorie' von nzimme10]\(\endgroup\)
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dendi
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-02
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Hey Nico, genau das meine ich !
Ich kann mir aber irgendwie kein Beispiel denken, in welchem (1) gilt aber (2) nicht
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2242
Wohnort: Köln
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-11-02
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
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\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
betrachte $f_n(x)=\frac 1n \chi_{(0,n)}(x)$ und $g_n(x)=x$ (beide auf $\mathbb R$ definiert). Dann hat man $f_n \stackrel{\lambda}{\to} 0$ und $g_n \stackrel{\lambda}{\to} \opn{id}_\mathbb R$.
Beachte nun, dass
$$
\left(\frac n2,n\right)\subseteq\left\lbrace x\in \mathbb R \mid |f_n(x)g_n(x)|>\frac 12\right\rbrace.
$$
LG Nico\(\endgroup\)
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dendi
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-03
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Hey Nico, danke für die Antwort!
Sorry wenn ich so blöd frage, aber könntest du mir erklären, wie
f_n = (1/n )_\chi(0,n)
funktioniert?
LG Dendi
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nzimme10
Senior
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-11-03
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
Für eine beliebige Menge $A$ bezeichne ich mit $\chi_A\colon A\to \lbrace 0,1\rbrace$ die Indikatorfunktion (oder auch charakteristische Funktion; daher der Buchstabe Chi) der Menge $A$. Konkret gilt dabei
$$
\chi_A(x)=\begin{cases} 1, & x\in A \\ 0, & x\notin A\end{cases}.
$$
In diesem Beispiel gilt also
$$
f_n(x)=\begin{cases} \frac 1n, & x\in (0,n) \\ 0, & x\notin (0,n)\end{cases}.
$$
LG Nico\(\endgroup\)
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dendi
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-04
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Aaah .. alles klar! Vielen Dank für die Erklärung.
Liebe Grüsse
Dendi
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dendi hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
dendi hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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