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  Magnetfeld & Induktivität eines Leiters |
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timihendrix
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 |  Themenstart: 2021-11-04
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Hallo miteinander,
kann mir jemand einen Vorschlag geben, wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen soll und vor allem wie ich $j_0$ mit dem Flächenelement rausbekommen soll?
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/36602_A2.JPG
Dank und Gruß
TH
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rlk
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-04
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Hallo timihendrix,
wie hängen die Stromdichte $j$ und der Strom $I$ zusammen?
Ich hoffe, das bringt Dich auf Ideen,
Roland
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timihendrix
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-04
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Hallo Roland,
nun $j=\frac{dI}{dA}$. Ich habe folgendes überlegt:
Wenn $\vec{j}(r,\varphi)= j_0\cdot r^2 \cdot \vec{e_z}$ und $dI=jdA$ ist, dann ist doch
$$I=\oint \vec{j} d\vec{f}.$$
Daraus folgt dann unter Verwndung von $d\vec{f}$
$$I=\int_0^{2\pi}\int_0^r \vec{j}(r,\varphi) \cdot rdrd\varphi \vec{e_z}$$
$$= \int_0^{2\pi}\int_0^r j_0r^2 \underbrace{\vec{e_z} \cdot rdrd\varphi \vec{e_z}}_{=1}.$$
Wobei ich durch lösen der Integrale auf $j_0=\frac{I\cdot 2}{\pi \cdot r^4}$ komme.
Haut das hin?
Gruß TH
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rlk
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-11-04
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Hallo timihendrix,
ja, wobei noch ein paar kleine Fehler in Deiner Rechnung sind.
Es gilt
$$\dd I=\vec{j}\,\dd\vec{f}$$
und das Skalarprodukt $\vec{e}_z\cdot\vec{e}_z$ hat den Wert 1, nicht das von Dir markierte Produkt.
Es ist nicht empfehlenswert, die Integrationsvariable und den Radius $R=\frac{d}{2}$ mit demselben Symbol $r$ zu bezeichnen.
Dein Ergebnis ist richtig, wenn Du $r=\frac{d}{2}$ einsetzt.
Servus,
Roland
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timihendrix
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-04
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\quoteon(2021-11-04 21:55 - rlk in Beitrag No. 3)
$$\dd I=\vec{j}\,\dd\vec{f}$$
\quoteoff
Stimmt! Du meinst ich sollte nicht $dA$ mit $d\vec{f}$ gleichsetzen?
\quoteon
und das Skalarprodukt $\vec{e}_z\cdot\vec{e}_z$ hat den Wert 1, nicht das von Dir markierte Produkt.
\quoteoff
Das meinte ich auch, hatte aber auf die Schnelle nicht das richtige latex-Zeichen. **Hast du eins?**
\quoteon
Es ist nicht empfehlenswert, die Integrationsvariable und den Radius $R=\frac{d}{2}$ mit demselben Symbol $r$ zu bezeichnen.
Dein Ergebnis ist richtig, wenn Du $r=\frac{d}{2}$ einsetzt.
\quoteoff
..also, $$j_0=\frac{I \cdot 2}{\pi\cdot (\frac{d}{2})^4}$$
Vielen Dank und Gruß TH
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rlk
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-11-04
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Hallo timihendrix,
Du solltest nicht skalare und vektorielle Flächenelemente vermischen und wenn in der Frage schon die Bezeichnung $\dd \vec{f}$ vorgeschlagen wird, ist es besser sie zu verwenden.
Ich würde
$$I = \int_0^{2\pi}\int_0^{d/2} j_0r^2\, \underbrace{\vec{e}_z \cdot \vec{e}_z }_{=1}\, r\,\dd r\,\dd \varphi$$
schreiben.
Servus,
Roland
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timihendrix
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-05
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Hallo Roland,
"Der Wald und die Bäume".
Vielen Dank!
Gruß TH
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timihendrix
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-08
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Hallo,
ich habe dazu noch folgenden Aufgabenteil, bei dem ich nicht sicher bin.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/36602_A22.JPG
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/36602_A221.JPG
mein Ansatz wäre $$\Phi=\oint{\vec{B}d\vec{A}}$$
Das Normieren bzgl. des Flusses habe ich nicht verstanden.
Mein B - Feld innen habe ich schon berechnet und lautet $$\vec{B}(R)= \mu_0 \cdot \frac{I}{2\pi R^2}\cdot r \cdot \vec{e}_\varphi$$
Dann habe ich erstmal $d\vec{f}$ eingetzt:
$$\Phi_m=\oint drdz \underbrace{\vec{e}_\varphi \cdot \vec{e}_\varphi}_{=1} \cdot \mu_0 \cdot \frac{I}{2\pi R^2}\cdot r$$
und dann
$$\Phi_m=\mu_0 \cdot \frac{I}{2\pi}\cdot r \int_{0}^{z}dz \int_{r}^{\infty} \frac{1}{R^2}dR$$
womit ich dann auf $$\Phi_m= - \mu_0 \cdot \frac{I}{2\pi}\cdot z $$
und als L' dann $$L'= \frac{\mu_0 \cdot z}{2\pi} $$
Kann ich das Minus vom Fluss weglassen? Ist es richtig?
Gruß TH
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rlk
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| Beitrag No.8, eingetragen 2021-11-09
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Hallo timihendrix,
wieso schreibst Du wieder $d\vec{A}$ für das Flächenelement, wenn in der Frage $\dd\vec{f}$ verwendet wird? Auch das Symbol $\oint$ ist nicht angebracht, weil es für ein Kurvenintegral über einen geschlossenen Weg steht, wir aber ein Flächenintegral berechnen.
Die Integrationsgrenzen für die Radialkoordinate $r$ (nicht den Leiterradius $R$!) stimmen nicht, wir wollen doch über das rote Rechteck integrieren.
Der Fluss $\varPhi_m$ ist proportional zur Länge des betrachteten Leiterabschnitts, den Du mit $z$ bezeichnet hast (hier wäre ein anderes Symbol, z.B. $Z$ oder $\ell$ empfehlenswert, um Verwechslungen mit der Längskoordinate $z$ zu vermeiden). Mit dem auf die Längeneinheit normierten Fluss ist der Quotient
\[ \frac{\varPhi_m}{Z} \]
gemeint.
Servus,
Roland
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timihendrix
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-10
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Hallo Roland,
OK, Natürlich! Es steht ja auch da..
Jetzt habe ich es. So ergibt es natürlich mehr Sinn. Ich verhaspel mich nur ständig mit den Bezeichnungen..
$$\Phi_m=\iint_{A} drdz \underbrace{\vec{e}_\varphi \cdot \vec{e}_\varphi}_{=1} \cdot \mu_0 \cdot \frac{I}{2\pi R^2}\cdot r$$
und dann
$$\Phi_m=\mu_0 \cdot \frac{I}{2\pi \cdot R^2} \int_{0}^{l}dz \int_{0}^{R} r dr$$
wobei ich dann auf $$\Phi_m=\mu_0 \cdot \frac{I}{4\pi}\cdot l $$ komme.
Der normierte Fluss ist dann $$\frac{\Phi_m}{l}=\mu_0 \cdot \frac{I}{4\pi}$$
und L' dann $$L'= \frac{\mu_0 \cdot l}{4\pi} $$
Gruß TH
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rlk
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| Beitrag No.10, eingetragen 2021-11-11
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Hallo timihendrix,
das sieht gut aus, nur die Induktivität pro Längeneinheit $L'$ stimmt nicht, sie ergibt sich aus
\[ L' = \frac{\varPhi_m}{l I} \]
Mit einer Kontrolle der Einheiten hättest Du bemerken können, dass Dein $L'$ nicht stimmt.
Servus,
Roland
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timihendrix
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-12
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Ah ok. Danke!
Könntest Du bitte auch mal auf die hier schauen?
Gruß T
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