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| Autor |
  Trigonometrische Gleichung lösen |
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mathwave
Junior 
Dabei seit: 10.10.2021
Mitteilungen: 16
 |  Themenstart: 2021-11-08
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Hallo,
ich habe Schwierigkeiten, diese Gleichung nach \(\varphi\) zu lösen:
\[\frac{1}{3}=\sin \varphi -\frac{\cos \varphi}{2}\]
Trigonometrische Identitäten habe ich schon probiert, bin aber nicht weitergekommen.
Würde mich über Tipps&Hilfe echt freuen😃
Gruß
mathwave
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4282
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-08
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Mit Hilfe von $\sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1$ kannst du eine quadratische Gleichung für $c:=\cos\varphi$ gewinnen.
--zippy
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mathwave
Junior
Dabei seit: 10.10.2021
Mitteilungen: 16
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-08
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MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 3186
Wohnort: Werne
 | Beitrag No.3, eingetragen 2021-11-08
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Hallo zusammen,
der von zippy vorgeschlagene Weg funktioniert natürlich, ist aber für Linearkombinationen von sin und cos nicht der Königsweg, weil durch die Quadrierung eine Phantomlösung erzeugt wird. Hier sollte man den folgenden Ansatz wählen:
$$A\cos(\varphi+\alpha)=A\cos\alpha\cos\varphi-A\sin\alpha\sin\varphi$$Setze die rechte Seite ein:
$$\frac{1}{3}=\sin \varphi -\frac{\cos \varphi}{2}=A\cos\alpha\cos\varphi-A\sin\alpha\sin\varphi$$und setze nun:
$$A\cos\alpha=-\frac12\qquad A\sin\alpha=-1$$Teilt man die zweite Gleichung dieser Zeile durch die erste, so folgt
$$\tan\alpha=2$$$$\alpha=\arctan2$$Quadriert man die beiden Gleichungen, so folgt:
$$A^2\cos^2\alpha+A^2\sin^2\alpha=A^2=\frac54$$$$A=-\frac12\sqrt5$$Hier kommt im Vergleich zu $A\sin\alpha=-1$ nur das negative $A$ zum Tragen. Daraus folgt:
$$-\frac12\sqrt5\cos\left(\varphi+\arctan2\right)=\frac13$$$$\varphi+\arctan2=\pm\arccos\left(-\frac{2}{3\sqrt5}\right)+2n\pi$$$$\varphi=\pm\arccos\left(-\frac{2}{3\sqrt5}\right)-\arctan2+2n\pi$$
@mathwave: normalerweise geben wir hier keine vollständigen Lösungen, aber da Du mit den Additionstheoremen offenbar nicht vorangekommen bist, habe ich hier den Weg mal komplett vorgeführt.
Ciao,
Thomas
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Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2515
| Beitrag No.4, eingetragen 2021-11-08
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Huhu,
da bin ich ganz bei Thomas. Dazu habe ich auch schon mal etwas geschrieben:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=226796&start=0#p1654056
Das liegt aber natürlich auch an deinem Wissensstand. Polarkoordinaten werden heute ja nicht mehr in Schule unterrichtet. Daher löse ich in der 9. Klasse solche Gleichungen auch wie zippy. Das schärft dann auch nochmal das Bewusstsein, dass quadrieren im Allgemeinen eben keine Äquivalenzumformung ist und somit einer Probe bedarf.
Gruß,
Küstenkind
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