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 Ähnliche Dreiecke |
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traveller
Senior 
Dabei seit: 08.04.2008
Mitteilungen: 2716
 |  Themenstart: 2021-11-08
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Hallo,
Sind folgende Dreiecke ähnlich:
$$a=9\,\text{cm},\,b=5\,\text{cm},\,\beta=32°$$
$$d=13.5\,\text{cm},\,e=7.5\,\text{cm},\,\delta=32°$$
Laut Musterlösung sind sie es nicht (wird aber nicht begründet). Wie kann man das sauber argumentieren?
Ich habe mal unter der Annahme von Ähnlichkeit sowie dass die Ecken $B$ und $D$ zueinander korrespondieren (was nicht der Fall sein muss, es könnten ja mehrere gleiche Winkel vorkommen) jeweils die fehlenden Seiten berechnet. Dabei kommen unmögliche Dreiecke raus, da diese die Dreiecksungleichung nicht erfüllen. Aber wie gesagt, es könnte ja auch ein gleichschenkliges Dreieck sein, sodass nochmals ein Winkel von $32°$ vorkommt.
Ich vermute, es gibt da ein einfacheres Argument, das ich übersehe.
Winkelfunktionen dürfen natürlich nicht benutzt werden.
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Caban
Senior 
Dabei seit: 06.09.2018
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Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-08
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Hallo
Das kann man mit dem fehlenden Winkel begründen. Im Dreieck ABC muss gamma größer als 32° sein. Über dem Innenwinkelsatz erhält man, dass der Winkel bei A kleiner als 116° sein. Bei dem anderen Dreieck muss der dritte Winkel größer als 116° sein.
Gruß Caban
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traveller
Senior
Dabei seit: 08.04.2008
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-08
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\quoteon(2021-11-08 22:00 - Caban in Beitrag No. 1)
Im Dreieck ABC muss gamma größer als 32° sein.
\quoteoff
Wieso?
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
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Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-11-08
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Hallo
Ich habe alpha und gamma vertauscht. alpa muss größer als 32° Grad sein, gamma kleiner als 116°.
Gruß Caban
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traveller
Senior
Dabei seit: 08.04.2008
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-09
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Aber damit kann man nur zeigen, dass in beiden Dreiecken nur einmal der Winkel 32° vorkommt, oder? Dann brauchts meine umständliche Begründung, wieso es dann nicht geht immer noch?
Ich hoffe (auch im Kontext mit den anderen Teilaufgaben, welche deutlich einfacher sind) auf ein direkteres, eleganteres Argument.
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Caban
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-11-09
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Hallo
stimmt, ich denke aber, dass es einfacher nicht gehen wird. Wie lautet denn die Orginalaufgabenstellung? Vielleicht reicht ja eine zeichnerische Lösung.
Gruß Caban
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traveller
Senior
Dabei seit: 08.04.2008
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-10
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Hallo,
Die Aufgabe ist
Decide whether the triangles ABC and DEF are similar or not.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/22274_Bild1.png
Und sie stammt aus einem Kapitel über Ähnlichkeitssätze.
Da bei den Aufgaben b,c und e ein gleichseitiges, ein rechtwinkliges und ein gleichschenkliges Dreieck vorkommen könnte man vermuten, dass auch bei d etwas ähnliches der Fall ist, was ich aber nicht sehe.
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Caban
Senior
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Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
| Beitrag No.7, eingetragen 2021-11-10
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Hallo
Bei d gibt es im Dreieck 1 einen Winkel mit 32°, einen Winkel der größer als 32° ist und einen Winkel, der kleiner als 116° ist. Beim zweiten Dreieck gibt es wieder einen Winkel mit 32°, einen Winkel kleiner als 32 und einen Winkel größer 116°.
Im zweiten Dreieck gibt es genau einen Winkel mit 32°, damit gibt es bei Ähnlichkeit auch nur einen Winkel mit 32° im ersten Dreieck. Im zweiten Dreieck muss ein Winkel existieren, der größer als 116° ist. Der kann nur mit dem Winkel des ersten Dreiecks übereinstimmen, der größer 32° ist. Damit sind die Winkel im Fall der Ähnlichkeit eindeutig zugeordnet.
Damit kann man über dem Streckungsfaktor k die letzte Seite des ersten Dreiecks berechnen, diese wäre 2,78, was wegen 2,78+5<9 nicht geht.
Damit muss man nur ein unmögliches Dreieck berechnen, das ist vom Aufwand her nicht sehr viel.
Gruß Caban
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Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2583
| Beitrag No.8, eingetragen 2021-11-10
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Huhu traveller,
\quoteon(2021-11-10 01:01 - traveller in Beitrag No. 6)
Und sie stammt aus einem Kapitel über Ähnlichkeitssätze.
\quoteoff
dann soll ja vll auch nur festgestellt werden, dass kein Ähnlichkeitssatz erfüllt ist. Möglicherweise soll ja auch nur die Überlegung gemacht werde, dass Dreieck ABC überhaupt nicht eindeutig ist, da der Winkel nicht der längeren Seite gegenüberliegt. Es entstehen zwei verschiedene Dreiecke (und auch das muss ja theoretisch erstmal per Konstruktion festgestellt werden) - die sicherlich nicht beide ähnlich sind zu einem eindeutigen Dreieck DEF (dort greift Ssw).
Gruß,
Küstenkind
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StrgAltEntf
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 | Beitrag No.9, eingetragen 2021-11-10
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Hallo,
ich hätte so begonnen:
Es ist a/b = d/e = 1,8.
Wären die Dreiecke ähnlich so könnte a der Seite d und b der Seite e entsprechen. Dann ist aber \(\alpha=\delta=32°\) und somit ist das Dreieck ABC gleichschenklig mit den Schenkeln a und b. Widerspruch.
Das Verhältnis 1,8 könnte bei ABC noch ein weiteres Mal auftreten. Etwa c/a = 1,8 oder b/c = 1,8. Beides ergibt eine Länge c, die der Dreicksungleichung widerspricht.
Es bleiben die Möglichkeiten, dass a = c = 9, b = 5 oder b = c = 5, a = 9.
Da jedoch der 32°-Winkel im ersten Dreieck der kurzen und im zweiten Dreieck der langen Seite gegenüberliegt, Fallen beide Möglichkeiten aus.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
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