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Universität/Hochschule J Vervollständigung eines Maßraumes
Fluadl
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  Themenstart: 2021-11-09

Guten Tag! Ich habe folgendes Problem gegeben: Zeigen Sie, die Vervollständigung $(X, \mathcal{A}',\mu')$ von $(X, \mathcal{A},\mu)$ erfüllt $$ \mathcal{A}_{1}' = \{A\Delta N\ | A \in \mathcal{A}, N \in \mathcal{N}(X,\mu)\}$$ In der Vorlesung haben wir folgende Vervollständigung durchgemacht $$ \mathcal{A}_{2}' = \{A\cup N\ | A \in \mathcal{A}, N \in \mathcal{N}(X,\mu)\} $$ Soweit ich verstanden ist die zweite Menge eine $\sigma$-Algebra und um nun zu zeigen, dass die gegebene Vervollständigung gilt, sollte man von der einen $\sigma$-Algebra in die Andere überführen. Ich habe bereits gezeigt, dass $\mathcal{A}_{1}' \subseteq \mathcal{A}_{2}'$ Indem ich $N'=N\diagdown A$ definiert habe und dann $A\Delta N'=$...$=A\cup N$ gezeigt habe. Nur bei der Rückrichtung weiß ich nicht ,wie ich das angehen sollte. Wäre für eine Idee echt dankbar.


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sonnenschein96
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-09

Hallo Fluadl, wenn Du für \(A\in\mathcal{A}\) und \(N\in\mathcal{N}(X,\mu)\) die Gleichung \(A\cup N=A\Delta(N\setminus A)\) zeigst, dann beweist dies \(\mathcal{A}_2'\subseteq\mathcal{A}_1'\) (und nicht andersrum). Zu \(\mathcal{A}_1'\subseteq\mathcal{A}_2'\): Für \(A\in\mathcal{A}\) und \(N\in\mathcal{N}(X,\mu)\) gibt es ein \(M\in\mathcal{A}\) mit \(N\subseteq M\) und \(\mu(M)=0\). Du kannst denke ich \[A\Delta N=(A\setminus M)\cup(((A\cap M)\setminus N)\cup (N\setminus A))\] schreiben. Beachte, dass \(A\setminus M\in\mathcal{A}\) und \(((A\cap M)\setminus N)\cup (N\setminus A)\subseteq M\), womit \(((A\cap M)\setminus N)\cup (N\setminus A)\in\mathcal{N}(X,\mu)\).


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Fluadl
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-10

Hallo Sonnenschein! Vielen dank für deine Antwort! Die Argumentation leuchtet mir auf jeden Fall ein. Meine einzige Frage wäre noch wie du auf deine Darstellung von $A \Delta N$ gekommen bist? Ich hab mich jetzt länger mit $A \Delta N = (A\cup N)\setminus (A\cap N) = (A\setminus N) \cup (N\setminus A)$ beschäftigt und habe das versucht in deine Darstellung umzuformen, bin aber auf nichts sinnvolles gekommen. MfG Fluadl


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sonnenschein96
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-11-10

\quoteon(2021-11-10 08:33 - Fluadl in Beitrag No. 2) Meine einzige Frage wäre noch wie du auf deine Darstellung von $A \Delta N$ gekommen bist? \quoteoff Durch eine Skizze :) Ob das wirklich stimmt, habe ich mir nicht überlegt. Das kann ich ja jetzt hier tun. Wir wollen also \(A\setminus N=(A\setminus M)\cup((A\cap M)\setminus N)\) zeigen. "\(\subseteq\)": Es sei \(x\in A\setminus N\), also \(x\in A\), aber \(x\notin N\). Ist nun \(x\in M\), so gilt \(x\in A\cap M\), aber \(x\notin N\), d.h. \(x\in (A\cap M)\setminus N\). Ist \(x\notin M\), so gilt \(x\in A\setminus M\). In beiden Fällen ist \(x\in(A\setminus M)\cup((A\cap M)\setminus N)\). "\(\supseteq\)": \(A\setminus M\subseteq A\setminus N\) folgt direkt aus \(N\subseteq M\). \((A\cap M)\setminus N\subseteq A\setminus N\) folgt direkt aus \(A\cap M\subseteq A\). Der Punkt ist, dass man zwar \(A\Delta N=(A\setminus N)\cup(N\setminus A)\) schreiben kann und \(N\setminus A\in\mathcal{N}(X,\mu)\) ist (da \(N\setminus A\subseteq N\subseteq M\)), es aber sein kann, dass \(N\notin\mathcal{A}\) und damit auch \(A\setminus N\notin\mathcal{A}\).


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Fluadl
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-10

Okay, ich glaube ich habe es weitestgehend verstanden. Vielen dank für deine Hilfe :)


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Fluadl hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Fluadl hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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