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| Autor |
 Richtungsableitung |
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sina1357
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 14.11.2020
Mitteilungen: 187
 |  Themenstart: 2021-11-16
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Hallo zusammen,
ich beschäftige mich gerade mit Richtungsableitungen und bin im Wikipediaartikel auf eine alternative Definition gestoßen:
de.wikipedia.org/wiki/Richtungsableitung
Mir ist klar, warum durch die speziell angegebene Parametergerade γ eine äquivalente Definition der Richtungsableitung gegeben ist.
Jedoch verstehe ich nicht, warum diese Definition auf eine beliebige differenzierbare Parameterkurve mit γ(0)=x und Tangentialvektor γ´(0)=v erweitert werden kann.
Woher weiß ich dann, dass D_vf(x)=d/dt f(γ(t))∣t=0 existiert?
Und wieso ist das Ergebnis unabhängig von der Wahl meiner Kurve?
Danke für eure Hilfe!
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 Profil
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2039
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-16
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
in dem von dir verlinkten Artikel wird deine Frage einen Satz später beantwortet:
Sei $U\subseteq \mathbb R^n$ offen, $x_0\in U$ und $f\colon U\to \mathbb R$ in $x_0$ total differenzierbar. Sei weiter $\gamma\colon (-\varepsilon,\varepsilon)\to U$ eine differenzierbare Kurve mit $\gamma(0)=x_0$ und $\gamma'(0)=v$. Dann gilt
$$
D_vf(x_0):=\mathrm d(f\circ \gamma)(0)=(\mathrm df(\gamma(0))\circ \mathrm d\gamma)(0)=\mathrm df(x_0)(v).
$$
Folglich existiert in diesem Fall der Wert auf der linken Seite und ist unabhängig von $\gamma$.
LG Nico\(\endgroup\)
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sina1357
Wenig Aktiv
Dabei seit: 14.11.2020
Mitteilungen: 187
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-16
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Hallo Nico,
vielen Dank für deine Antwort.
Mit deiner Ausführung ist es mir klar geworden.
Mir stellt sich nun noch die Frage, ob sich diese Argumentation auf Mannigfaltigkeiten M übertragen ließe, also für eine Funktion f: M ->R.
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2039
Wohnort: Köln
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-11-16
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
auch diese Frage wird nur wenig später in dem selben Artikel beantwortet. Ist $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, $p\in M$ und $v\in T_pM$ sowie $f\colon M\to \mathbb R$ differenzierbar in $p$, so kann man auch hier
$$
D_vf(p):=\mathrm d(f\circ \gamma)(0)
$$
setzen, wenn $\gamma(0)=p$ und $[\gamma'(0)]_p=[v]_p$ gilt. Das Differential von $f$ in $p$ ist in diesem Fall ja gerade eine (lineare) Abbildung
$$
\mathrm df(p)\colon T_pM\to T_{f(p)}\mathbb R\cong \mathbb R.
$$
LG Nico\(\endgroup\)
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