| Autor |
  Charakterisierung aller B-messbaren Funktionen |
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jimmy_neutron
Junior 
Dabei seit: 16.11.2021
Mitteilungen: 6
 |  Themenstart: 2021-11-16
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Hallo Leute,
es geht darum alle \(\cal A-\cal B-\)messbaren Funktionen \(f:\Omega\rightarrow \mathbb{R}\) zu charakterisieren, für folgende Sigma-Algebra:
\(\cal A\)=\(\{ A \subseteq \Omega| A \) ist abzählbar oder \(A^c\) ist abzählbar \(\}\)
Für andere Sigma-Algebren hatte ich damit nicht so Probleme, aber bei dieser hab ich irgendwie keine Idee.
Danke schon mal im voraus für jede Hilfe
LG Jimmy
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-16
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo und willkommen auf dem Matheplaneten :)
Wenn über $\Omega$ sonst nichts bekannt ist, dann würde ich zunächst mal die Fälle unterscheiden, dass $\Omega$ abzählbar ist und dass $\Omega$ überabzählbar ist.
Falls $\Omega$ abzählbar ist, was kannst du dann über die $(\mathcal A,\mathcal B)$-messbaren Funktionen $f\colon \Omega\to \mathbb R$ sagen?
LG Nico\(\endgroup\)
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jimmy_neutron
Junior
Dabei seit: 16.11.2021
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-16
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Hi Nico,
also wenn \(\Omega\) abzählbar ist, dann ist jede Funktion \((\mathcal A,\mathcal B)\)-messbar, da ja Teilmengen von abzählbaren Mengen selbst immer abzählbar sind und damit \(f^{-1}(x)\in \mathcal A\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) sind.
Wenn \(\Omega\) überabzählbar ist, funktioniert das ja so nicht. Noch begreife ich nicht so ganz, wie ich hier dann vorgehen kann/muss. :/
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nzimme10
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-11-16
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
genau, im Fall, dass $\Omega$ abzählbar ist ist dann einfach jede Abbildung messbar.
Nun betrachten wir den Fall, dass $\Omega$ überabzählbar ist. Sei zunächst $f\colon \Omega\to \mathbb R$ messbar. Sind nun $a,b\in \mathbb R$ mit $a\neq b$, so muss mindestens eine der Mengen $f^{-1}(\lbrace a\rbrace), \ f^{-1}(\lbrace b\rbrace)$ abzählbar sein (warum?).
Überlege dir nun, dass es daher höchstens ein $a\in \mathbb R$ gibt, so dass $f^{-1}(\lbrace a\rbrace)$ nicht abzählbar ist.
Kannst du damit weiterarbeiten?
LG Nico \(\endgroup\)
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jimmy_neutron
Junior
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-16
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Also um ganz ehrlich zu sein ist mir nicht so ganz klar, warum mindestens eine der Mengen abzählbar sein muss, bzw wieso es nur ein \(a\in \mathbb{R}\) gibt, sodass \(f^{-1}(\{a\})\) überabzählbar ist.
Meine Intuition würde jetzt etwas in die Richtung, dass \(f^{-1}(\{a\})\) ja Teilmenge von \(f^{-1}(\{b\})^C\) ist, aber das Komplement einer überabzählbaren Menge kann ja auch überabzählbar sein, deshalb passt das so nicht.
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nzimme10
Senior
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-11-16
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\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
beachte, dass wir momentan angenommen haben, dass $f$ messbar ist. Da $\lbrace a\rbrace\subset \mathbb R$ und $\lbrace b\rbrace\subset \mathbb R$ abgeschlossen sind (also Borelmengen sind) muss $f^{-1}(\lbrace a\rbrace)\in \mathcal A$ und $f^{-1}(\lbrace b\rbrace)\in \mathcal A$ gelten.
Angenommen beide wären überabzählbar. Dann sind also $f^{-1}(\lbrace a\rbrace)^c=f^{-1}(\mathbb R\setminus\lbrace a\rbrace)$ als auch $f^{-1}(\lbrace b\rbrace)^c=f^{-1}(\mathbb R\setminus\lbrace b\rbrace)$ abzählbar. Nun gilt aber
$$
f^{-1}(\mathbb R\setminus\lbrace a\rbrace)\cup f^{-1}(\mathbb R\setminus\lbrace b\rbrace)=f^{-1}((\mathbb R\setminus\lbrace a\rbrace)\cup(\mathbb R\setminus\lbrace b\rbrace))=f^{-1}(\mathbb R)=\Omega.
$$
Da Vereinigungen abzählbarer Mengen abzählbar sind, erhalten wir einen Widerspruch dazu, dass $\Omega$ überabzählbar ist.
Kommst du nun weiter?
LG Nico\(\endgroup\)
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jimmy_neutron
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-16
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Ah genau, ich hatte vergessen zu beachten, dass \(f\) messbar ist. Das habe ich jetzt so verstanden. Aber so richtig hilft mir das glaube ich noch nicht um die Funktionen \(f\) zu charakterisieren.
Eigentlich darf doch einfach nur nicht das \(a\) von f getroffen werden, für das dann \(f^-1(a)\) überabzählbar ist oder nicht?
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
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| Beitrag No.7, eingetragen 2021-11-16
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
wir wissen nun also, dass es höchstens ein $a\in \mathbb R$ gibt, so dass $f^{-1}(\lbrace a\rbrace)$ überabzählbar ist. Falls es also so ein $a$ gibt, dann ist $f^{-1}(\mathbb R\setminus \lbrace a\rbrace)$ abzählbar. Folglich ist $f$ von der Form
$$
f(x)=a\cdot \chi_A(x)+\sum_{k=1}^\infty b_k\cdot \chi_{A_k}(x),
$$
wobei $b_k\in \mathbb R$, die $A_k$ paarweise disjunkte abzählbare Mengen sind und $\Omega\setminus A$ abzählbar ist.
Umgekehrt ist solch eine Funktion auch messbar.
LG Nico\(\endgroup\)
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jimmy_neutron
Junior
Dabei seit: 16.11.2021
Mitteilungen: 6
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-16
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Also das sieht mir doch sehr nach Elementarfunktionen aus :) Das diese messbar sind, ist klar.
Damit müsste die Aufgabe fertig sein oder?
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nzimme10
Senior
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| Beitrag No.9, eingetragen 2021-11-16
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\quoteon(2021-11-16 22:03 - jimmy_neutron in Beitrag No. 8)
Damit müsste die Aufgabe fertig sein oder?
\quoteoff
Sag du es mir😉
LG Nico
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jimmy_neutron
Junior
Dabei seit: 16.11.2021
Mitteilungen: 6
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-16
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Also ich würde sagen schon, da ja Elementarfunktionen messbar sind 🤔
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nzimme10
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| Beitrag No.11, eingetragen 2021-11-16
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Man kann sich hier auch nochmal überlegen, dass ein $f$ von dieser Form immer messbar bezüglich dieser $\sigma$-Algebren ist ohne zu sagen, dass dieses ja als Elementarfunktion messbar ist. (Einfach um es sich wirklich klar zu machen warum es so ist).
Ansonsten haben wir nun in jedem Fall gesagt, wie die messbaren Funktionen aussehen und das ist was wir wollten.
LG Nico\(\endgroup\)
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2023-09-30 22:43 U ?
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