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  Schnitte einer 2-dim. Menge sind Borelmengen |
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Mathler
Wenig Aktiv 
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 |  Themenstart: 2021-11-17
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Hallo Matheplanet,
in einer Übungsaufgabe soll ich eine Menge A $\in \mathbb{R}^2$ finden, die keine zweidimensionale Borelmenge ist, aber für die alle Schnitte Borelmengen sind.
Wobei die Schnitte folgendermaßen definiert sind:
$A(w_1, \cdot )$={$w_2:(w_1,w_2)\in A$}
$A(\cdot,w_2)$={$w_1:(w_1,w_2)\in A$}
Wir betrachen $C$...$Cantormenge$, ich weiß bereits aus einer anderen Übung, dass C keine 1-dim Borelmenge ist, wodurch {$(x,x):x\in C$}=:A keine 2-dim Borelmenge ist.
Da aber $A(w_1, \cdot )$={$w_2:(w_1,w_2)\in A$}={$w_2:(w_1,w_2)\in ${$(x,x):x\in C$}}
und die Borelmenge unter anderem durch {$[a,b] \subseteq \mathbb{R} : a \le b$} erzeugt wird, folgt damit insbesondere das {$[w_2] \subseteq \mathbb{R} :(w_1,w_2) \in ${$(x,x):x\in C$}} und {$[w_1] \subseteq \mathbb{R} :(w_1,w_2) \in ${$(x,x):x\in C$}} die Borelmenge erzeugen, da dies ja nur einzelne Punkte sind, womit ich ein Menge gefunden habe.
Ist mein Ansatz hier korrekt?
Ist die Aufgabe damit schon gelöst?
LG
Mathler
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nzimme10
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-17
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
der Ansatz ist gut finde ich. Nur nochmal zur Wiederholung: $C$ ist die Cantor-Menge und $A:=\lbrace (x,x)\mid x\in C\rbrace$.
Ich notiere eine erste festgehaltene Koordinate $w_1$ mit $A_{w_1}$ und eine zweite festgehaltene Koordinate $w_2$ mit $A_{w_2}$. Beachte, dass dann einfach
$$
A_{w_i}=\begin{cases} \lbrace w_i\rbrace, & w_i\in C \\ \emptyset, & w_i\notin C\end{cases}
$$
gilt. In jedem Fall sind das natürlich Borelmengen.
Edit: Da bin ich gerade natürlich auf mich selbst hereingefallen. Warum genau sollte die Cantor-Menge keine Borelmenge sein? Das Argument kannst du aber mit einer beliebigen nicht-Borelmenge so durchführen, nur eben nicht mit der Cantor-Menge.
LG Nico\(\endgroup\)
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Mathler
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-18
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Lieber Nico,
vielen dank für deine Hilfe, ja da hab ich im Eifer des Gefechts die falsche Menge hingeschrieben, ich meine nicht die Cantormenge, sondern die Vitali Menge, diese ist keine Borelmenge.
Sei also mein C...Vitalimenge, dann kann ich den Beweis wie oben durchführen, verwende für beide Schnitte das Argument, dass die Borelmenge von den Punkten erzeugt wird und bin fertig.
LG Mathler
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nzimme10
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-11-18
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
ich verstehe noch nicht ganz was du mit "von Punkten erzeugt" meinst. Wenn du den Hinweis aus meinem letzten Beitrag beachtest, dann muss man nur noch wissen, dass die leere Menge und abgeschlossene Mengen Borelmengen sind.
Aus der üblichen Definition der Borelalgebra als kleinste $\sigma$-Algebra, die alle offenen Mengen enthält, folgt das aber schon.
LG Nico\(\endgroup\)
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Mathler
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-18
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Hallo,
ich glaube ich wusste bis eben noch nicht so ganz was die Borelmengen überhaupt sind, ich dachte zuerst, dass die Borelmengen jene sind, welche $\mathcal{B}$ also die Borelsche $\sigma$-Algebra erzeugen, das ist aber falsch, die Borelmengen sind jene welche in $\mathcal{B}$ enthalten sind oder?
Damit versteh ich nun auch deinen Hinweis und weiß was du meinst.
Danke!
LG Mathler
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nzimme10
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-11-18
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\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
also typischerweise meint man das zumindest damit. Die Borelmengen sind die Mengen, die in der Borel-$\sigma$-Algebra enthalten sind.
LG Nico
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Maßtheorie' von nzimme10]\(\endgroup\)
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Mathler hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Mathler hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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