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 Satz von Hurwitz |
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nitram999
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 |  Themenstart: 2021-11-19
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Hallo zusammen,
mir wurde soeben die folgende Frage gestellt:
Gegeben sei eine Folge von in \ID holomorphen Funktionen f_n : \ID ->\ID.
Weiter sei f_n (1/n)=0 eine einfache Nullstelle und sonst nullstellenfrei.
Die Funktionenfolge konvergiert kompakt in \ID gegen die holomorphe Grenzfunktion f.
Was kann man über die Grenzfunktion und deren Nullstellen sagen?
Ich dachte dann an den Satz von Hurwitz, wusste jedoch nicht, wie genau man ihn hier anwenden kann.
Ich weiß auch, dass am Ende rauskommt, dass f entweder nullstellenfrei oder identisch gleich 0 in \ID \\{0} ist.
Aber wie genau komme ich darauf? Die Nullstellen häufen sich ja im Nullpunkt, aber ich kann die ganzen Informationen noch nicht passend zusammensetzen...
Vielen Dank schon einmal! nitram999
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Gestath
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| Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-19
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nzimme10
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-11-20
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Hallo,
welche Version des Satzes hast du denn zur Verfügung?
LG Nico
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nitram999
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-22
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Hallo Nico,
also ich habe den folgenden Satz im Skript:
Sei G\subsetequal\ \IC ein Gebiet und ((f_n)) eine Folge von in G holomorphen Funktionen, die kompakt in G gegen die in G holomorphe Grenzfunktion f konvergieren.
Dann gilt:
Wenn für alle n\el\ \IN gilt dass 0\notel\ f_n(G), dann ist entweder f==0 oder 0\notel\ f(G).
Nochmal zum Kontext der Aufgabe: Also es war eine Prüfungsfrage innerhalb einer mündlichen Prüfung. Zuerst wurde die Aussage des Satzes von Hurwitz gefragt und danach die obige Aufgabe gestellt. Dort kann man aber nicht direkt Hurwitz anwenden, da ja die einzelnen Funktionen der Folge Nullstellen haben.
Viele Grüße, nitram999
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nitram999
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-24
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Ich habe nochmal etwas rumprobiert, aber irgendwie ist es mir immer noch nicht wirklich klar.
Irgendwie wollte der Prüfer es so: Betrachte eine Umgebung um 1/n und in der ist die Funktion nullstellenfrei. Solch eine Umgebung findet man für alle 1/n außer für den Nullpunkt. Aber wie kann man nun den Satz von Hurwitz anwenden bzw. eine Aussage zu den Nullstellen der Grenzfunktion machen?
Als Ergebnis muss ja rauskommen, dass die Grenzfunktion im punktierten Einheitskreis entweder identisch 0 ist oder nullstellenfrei.
Vielleicht kann mir ja noch jemand helfen. Danke schon mal!
nitram999
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| nitram999 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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