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Analysis » Maßtheorie » Äußeres Maß des Produktes von Lebesgue- und Zählmaß
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Universität/Hochschule Äußeres Maß des Produktes von Lebesgue- und Zählmaß
Mathler
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Hallo Matheplanet, ich hänge gerade an einer Aufgabe die da lautet: Auf $([0,1] \times [0,1],\mathcal{B}([0,1]) \times \mathcal{B}([0,1]))$ betrachte man $\nu_1=(\lambda \times \zeta)^*$, also das von dem Maß $\lambda \times \zeta(A_1 \times A_2)=\lambda(A_1)\zeta(A_2)$ auf dem Semiring erzeugte äußere Maß $(\lambda \dots$ Lebesguemaß; $\zeta\dots $Zählmaß). Ich soll nun $(\lambda \times \zeta)^*(D)$ mit $D=\{(x,x):0\leq x\leq1\} $ berechnen. Ich würde mal sagen, dass entweder 0 oder $\infty$ heraus kommt, wobei ich eher zu 0 tendiere Mein Ansatz wäre: $\nu_1(D)=inf\{\sum_{n=1}^{\infty}(\lambda \times \zeta)(E_n):E_n\in\mathcal{B}([0,1]) \times \mathcal{B}:D\subseteq \bigcup_{n=1}^\infty E_n\}=inf\{\sum_{n=1}^{\infty}\lambda(A_n)\zeta(B_n):A_n \times B_n\in\mathcal{B}([0,1]) \times \mathcal{B}:D\subseteq \bigcup_{n=1}^\infty A_n \times B_n\}$ Durch betrachtung der Projektion $p:D\to[0,1]:(x,x)\to x$ sehe ich natürlich sofort, dass $| \bigcup_{n=1}^\infty A_n | =\aleph_1=| \bigcup_{n=1}^\infty B_n | $ ich weiß zwar auch das $\zeta(B_n)>0$ aber ich stehe hier trotzdem an. Über eure Hilfe würde ich mich sehr freuen P.s ich weiß schon, dass $(\lambda \times \zeta)(D)=0$ LG Mathler

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