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Teilbarkeit » Kongruenzen » Kongruenz a² + b² = -1 modulo p lösbar
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Universität/Hochschule J Kongruenz a² + b² = -1 modulo p lösbar
sonja00
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Dabei seit: 12.11.2021
Mitteilungen: 14
  Themenstart: 2021-11-19

Guten Abend! Bei folgender Aufgabe komme ich leider nicht wirklich vorwärts: Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie, dass es a, b \el\ \IZ mit a^2+b^2 == -1 (mod p) gibt. (Hinweis: aus der Vorlesung wissen wir abs(menge(x^2|x\el\ \IF_p^x)) = (p-1)/2 falls p > 2.) Für p = 2 habe ich einfach ein Bsp. für ein a und b genommen, welche die Kongruenz erfüllt. Für p>2 sollte ich ja höchstwahrscheinlich den Hinweis benutzen. Zusätzlich bekamen wir noch den Tipp, dass wir bei dem Beweis das Schubfachprinzip benutzen sollen. Nach meinem Verständnis von dem Schubfachprinzip müsste ich zeigen: abs(menge(a^2+b^2|a,b \el\ \IF_p)) >= p Nun weiß ich aber bisher nur, dass abs(A) := abs(menge(a^2|a\el\ \IF_p)) = (p-1)/2 +1 und abs(B) := abs(menge(b^2|a\el\ \IF_p)) = (p-1)/2 +1. Und natürlich ist A = B. Daraus allein muss jedoch nicht abs(C) := abs(menge(a^2+b^2|a,b \el\ \IF_p)) >= p resultieren. Wir wissen dadurch lediglich, dass abs(C) >= (p-1)/2 + 1 ist. Im Voraus schon einmal vielen Dank für jeden Tipp. LG Sonja


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Nuramon
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-19

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Hallo, erstmal nur ein kleiner Tipp: Die Kongruenz ist äquivalent zu $a^2 \equiv -b^2-1 \pmod p$.\(\endgroup\)


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sonja00
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-19

Danke für den Tipp! Also es gilt weiterhin abs(A) := abs(menge(a^2|a\el\ \IF_p)) = (p-1)/2 +1 = (p+1)/2 und jetzt haben wir noch die Menge abs(B') := abs(menge(-1-b^2|b\el\ \IF_p)) = (p+1)/2. Wenn wir also alle (p+1)/2 Elemente aus A auf alle p Elemente aus \IF_p "verteilen" würden wir zwangsläufig ein Element aus B' "treffen". Somit wäre die Existent einer Lösung der Kongruenz schon bewiesen, oder habe ich irgendwo einen Denkfehler?


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-11-19

Das hast du sehr gut erkannt! Man könnte das ganze natürlich noch etwas präziser formulieren, aber deine Idee ist korrekt.


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sonja00
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-19

Ja, ich war da doch sehr umgangssprachlich. Das präzise Ausformulieren sollte ich noch hinbekommen. Vielen Dank nochmal!


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Zwerg_Allwissend
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-11-20

Frage: Was ist \IF_p ?


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Kezer
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-11-20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) @Zwerg-Allwissend Der Körper mit $p$ Elementen.\(\endgroup\)


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