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  Frequenzganggleichung einer Source-Grundschaltung |
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Lux93
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Hallo,
es geht um eine Aufgabe, die ich für die Auswertung eines Praktikumsversuchs machen muss. In dem Versuch haben wir unter anderem graphisch den Arbeitspunkt der folgenden Source-Grundschaltung für eine günstige Aussteuerung ermittelt.
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/34511_Schaltung.png
Zudem haben wir den Amplitudengang im Bereich von 10 Hz bis 500 kHz mithilfe eines Breitbandvoltmeters gemessen, wobei wir die Amplitude des Eingangssignals so gewählt haben, dass sich am Ausgang 10 dBm ergeben. Für meine Schaltung ergaben sich so für den Eingang -22,85 dBm. Zudem sollten die unteren und oberen 3dB-Grenzfrequenzen gemessen werden.
Mit meinen Messwerten habe ich den Amplitudengang gezeichnet und das Ergebnis sieht soweit auch plausibel aus.
Probleme bereitet mir die folgende Aufgabenstellung:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/34511_Aufgaben.png
Punkt 1 ist mir klar, aber ich komme nicht mit der Frequenzganggleichung zurecht. Ich gehe davon aus, dass die Frequenzganggleichung die Übertragungsfunktion ist, oder? Mir ist dann aber nicht klar, was \(f_{ue}\) und \(f_{ua}\) sein sollen. Bei Punkt 2 ist mir nicht klar, was der Tiefpassterm für die gemessene Grenzfrequenz sein soll.
Um den Phasengang dann rechnerisch zu bestimmen, würde ich den Real- und Imaginärteil von \(A_{US}\) bestimmen, wobei dann \(\varphi = \arctan(\frac{Im(A_{US})}{Re(A_{US})})\) wäre. Wenn das richtig ist, müsste ich dafür allerdings wissen, was \(f_{ue}\) bzw. \(f_{ue}\) sein soll.
Zu den noch nicht definierten Größen:
\(R_{L\tilde{}}= \frac{R_L \cdot R_3}{R_L+R_3}\)
\(\frac{1}{g_{ms}}=\frac{1}{s}+\frac{R_{L\tilde{}}}{\mu}=\frac{1}{\frac{\Delta I_{D1}}{\Delta U_{GS}}}+\frac{R_{L\tilde{}}}{s \cdot r_{DS}}\)
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.
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rlk
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| Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-24
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Hallo Lux93,
die Größe $A_{US}$ ist der Frequenzgang der gezeichneten Schaltung, die sich von der gemessenen unterscheidet, weil erstere mit einem idealisierten FET und ohne Streukapazitäten den angegebenen Frequenzgang ohne obere Grenzfrequenz besitzt.
Bei der zweiten Frage soll dieser Unterschied zwischen den beiden Schaltungen durch einen zusätzlichen Faktor, der ein Tiefpassverhalten modelliert, korrigiert werden.
Welche Filtertypen stellen die drei frequenzabhängigen Faktoren der Übertragungsfunktion dar?
Die beiden Grenzfrequenzen $f_{ue}$ und $f_{ua}$ werden durch die Koppelkondensatoren am Ein- und Ausgang bestimmt, welche anderen Bauteile spielen hier auch eine wichtige Rolle?
Die Formel $\varphi=\arctan\left(\frac{\operatorname{Im}(A_{US})}{\operatorname{Re}(A_{US})}\right)$ gilt nur, wenn $A_{US}$ im ersten oder vierten Quadranten der gaußschen Zahlenebene liegt.
Ich hoffe, das hilft Dir,
Roland
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Lux93
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-24
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Hallo rlk,
danke für deine schnelle Antwort.
\quoteon(2021-11-24 00:19 - rlk in Beitrag No. 1)
Die beiden Grenzfrequenzen $f_{ue}$ und $f_{ua}$ werden durch die Koppelkondensatoren am Ein- und Ausgang bestimmt, welche anderen Bauteile spielen hier auch eine wichtige Rolle?
\quoteoff
Ich würde sagen, dass im Falle von \(C_{ek}\) die Widerstände \(r_G\) und \(R_1\) und im Falle von C_{ak} die Widerstände \(R_3\) und \(R_L\) eine Rolle spielen. Ist es richtig, dass man dann für \(f_{ue}\) und \(f_{ua}\) Folgendes erhalten würde:
\[f_{ue}=\frac{1}{2 \pi (r_G + R_1) \cdot C_{ek}}\]
und
\[f_{ua} = \frac{1}{2 \pi (\frac{R_3 \cdot r_{DS}}{R_3+r_{DS}} + R_L) \cdot C_{ak}}\]
\quoteon(2021-11-24 00:19 - rlk in Beitrag No. 1)
Welche Filtertypen stellen die drei frequenzabhängigen Faktoren der Übertragungsfunktion dar?
\quoteoff
Hier habe ich Probleme. In der Schaltung kommen ja letztendlich nur Widerstände und Kondensatoren vor, so dass es sich um RC-Glieder handeln muss. Wenn ich jetzt aber z. B. den zweiten Faktoren betrachte, erhalte ich:
\[\frac{j \frac{f}{f_{ue}}}{1+j \frac{f}{f_{ue}}} = \frac{1}{1- j\frac{f_{ue}}{f}}\]
Das stimmt ja nicht mit \(\frac{1}{1+\frac{f}{f_{ue}}j}\) überein, was die Übertragunsfunktion eines RC-Tiefpasses wäre. Bei den anderen beiden frequenzabhängigen Faktoren bin ich komplett ratlos, weil in den Zählern andere Frequenzen als in den Nennern stehen. Ich muss dazu sagen, dass wir bisher nur über ,,einfache'' Filterschaltungen gesprochen haben, und dass ich hier nicht erkenne, wie ich die Faktoren auf mir bekannte Übertragungsfunktionen zurückführen könnte.
\quoteon(2021-11-24 00:19 - rlk in Beitrag No. 1)
Die Formel $\varphi=\arctan\left(\frac{\operatorname{Im}(A_{US})}{\operatorname{Re}(A_{US})}\right)$ gilt nur, wenn $A_{US}$ im ersten oder vierten Quadranten der gaußschen Zahlenebene liegt.
\quoteoff
Ja, das stimmt. Ich traue mir grundsätzlich zu, die richtigen Werte für \(\varphi\) ausrechnen zu können, wenn ich es geschafft habe, einen Ausdruck für den Phasengang zu finden.
\quoteon(2021-11-24 00:19 - rlk in Beitrag No. 1)
Bei der zweiten Frage soll dieser Unterschied zwischen den beiden Schaltungen durch einen zusätzlichen Faktor, der ein Tiefpassverhalten modelliert, korrigiert werden.
\quoteoff
Okay, ich glaube, es wäre sinnvoll, wenn ich mir darüber Gedanken mache, wenn ich die frequenzabhängigen Faktoren der Übertragungsfunktion richtig identifizieren kann, weil mir jetzt noch gar nicht so richtig klar ist, was in der nicht ergänzten Fassung in der Übertragungsfunktion alles berücksichtigt ist.
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rlk
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-11-24
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Hallo Lux93,
die Grenzfrequenzen $f_{ue}$ und $f_{ua}$ sind richtig. Welche Art von Filter bilden die entsprechenden Teilschaltungen? Damit solltest Du zwei der Faktoren identifizieren können. Im Zähler des letzten Faktors sollte $jf/f_{ua}$ stehen.
Wie hängt die Phasenverschiebung dieses Faktors von der Frequenz ab? Wie kannst Du die Phasenverschiebung der Übertragungsfunktion aus denen der Faktoren bestimmen?
Hast Du schon die Asymptotennäherung des Amplitudengangs gezeichnet?
Servus,
Roland
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Lux93
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-26
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Okay, als wenn die Grenzfrequenzen richtig sind, muss es sich bei den beiden Schaltungen ja um einfache RC-Tiefpässe handeln. Bei diesen ist die Grenzfrequenz \(f_g\) ja \(f_g=\frac{1}{2 \pi R C}\).
\quoteon(2021-11-24 21:52 - rlk in Beitrag No. 3)
Damit solltest Du zwei der Faktoren identifizieren können.
\quoteoff
Da liegt noch immer das Problem. Soweit ich weiß, lautet die Übertragungsfunktion eines einfachen RC-Tiefpasses \(F = \frac{1}{1 + j \omega R C}\), was mit \(f_g=\frac{1}{2 \pi R C}\) auch auf die Form \(F = \frac{1}{1 + j \frac{f}{f_g}}\) gebracht werden kann. Das entspricht aber nicht der Darstellung \(F = \frac{j \frac{f}{f_{ue}}}{1+ j \frac{f}{f_{ue}}}\), wie sie in der Praktikumsunterlage zu finden ist, und ich sehe auch nicht, dass diese beiden Ausdrücke gleichwertig sind. Also irre ich mich hier und die Ausdrücke sind doch gleichwertig oder ist es kein einfacher RC-Tiefpass?
\quoteon(2021-11-24 21:52 - rlk in Beitrag No. 3)
Wie hängt die Phasenverschiebung dieses Faktors von der Frequenz ab?
\quoteoff
Allgemein gilt ja: \(\varphi(\omega) = \arg(F(j \omega))\), so dass ich dann einfach nur das Argument der einzelnen Faktoren berechnen müsste, wenn ich sie alle zuordnen kann.
\quoteon(2021-11-24 21:52 - rlk in Beitrag No. 3)
Wie kannst Du die Phasenverschiebung der Übertragungsfunktion aus denen der Faktoren bestimmen?
\quoteoff
Ich würde sagen, dass aus der Polarform komplexer Zahlen ersichtlich ist, dass die Phasenverschiebung der Übertragungsfunktion durch Addition der Phasenverschiebungen der einzelnen Faktoren berechnet werden kann.
\quoteon(2021-11-24 21:52 - rlk in Beitrag No. 3)
Hast Du schon die Asymptotennäherung des Amplitudengangs gezeichnet?
\quoteoff
Nein, noch nicht. Ist meine Annahme richtig, dass dieser Teil der Aufgabe einfach darin besteht, 2 Asymptoten in meine Messkurve einzuzeichnen?
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rlk
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-11-26
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Hallo Lux93,
\quoteon(2021-11-26 22:16 - Lux93 in Beitrag No. 4)
Okay, als wenn die Grenzfrequenzen richtig sind, muss es sich bei den beiden Schaltungen ja um einfache RC-Tiefpässe handeln. Bei diesen ist die Grenzfrequenz \(f_g\) ja \(f_g=\frac{1}{2 \pi R C}\).
\quoteoff
dieser Schluss ist falsch. Welche anderen einfachen RC-Filter kennst Du?
\quoteon(2021-11-26 22:16 - Lux93 in Beitrag No. 4)
\quoteon(2021-11-24 21:52 - rlk in Beitrag No. 3)
Damit solltest Du zwei der Faktoren identifizieren können.
\quoteoff
Da liegt noch immer das Problem. Soweit ich weiß, lautet die Übertragungsfunktion eines einfachen RC-Tiefpasses \(F = \frac{1}{1 + j \omega R C}\), was mit \(f_g=\frac{1}{2 \pi R C}\) auch auf die Form \(F = \frac{1}{1 + j \frac{f}{f_g}}\) gebracht werden kann. Das entspricht aber nicht der Darstellung \(F = \frac{j \frac{f}{f_{ue}}}{1+ j \frac{f}{f_{ue}}}\), wie sie in der Praktikumsunterlage zu finden ist, und ich sehe auch nicht, dass diese beiden Ausdrücke gleichwertig sind. Also irre ich mich hier und die Ausdrücke sind doch gleichwertig oder ist es kein einfacher RC-Tiefpass?
\quoteoff
Es handelt sich nicht um Tiefpassfilter, bei denen $F(0)=1$ ist. Welche physikalische Bedeutung hat $F(0)$?
\quoteon(2021-11-26 22:16 - Lux93 in Beitrag No. 4)
Allgemein gilt ja: \(\varphi(\omega) = \arg(F(j \omega))\), so dass ich dann einfach nur das Argument der einzelnen Faktoren berechnen müsste, wenn ich sie alle zuordnen kann.
Ich würde sagen, dass aus der Polarform komplexer Zahlen ersichtlich ist, dass die Phasenverschiebung der Übertragungsfunktion durch Addition der Phasenverschiebungen der einzelnen Faktoren berechnet werden kann.
\quoteon(2021-11-24 21:52 - rlk in Beitrag No. 3)
Hast Du schon die Asymptotennäherung des Amplitudengangs gezeichnet?
\quoteoff
Nein, noch nicht. Ist meine Annahme richtig, dass dieser Teil der Aufgabe einfach darin besteht, 2 Asymptoten in meine Messkurve einzuzeichnen?
\quoteoff
Deine Überlegungen zur Phasenverschiebung sind richtig. Es sind aber mehr als 2 Asymptoten.
Servus,
Roland
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Lux93
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-29
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Hallo rlk,
\quoteon(2021-11-26 23:27 - rlk in Beitrag No. 5)
dieser Schluss ist falsch. Welche anderen einfachen RC-Filter kennst Du?
\quoteoff
Okay, mir ist jetzt klar, dass es sich um RC-Hochpässe handelt, oder? Zumindest sehe ich, dass ein RC-Hochpass dieselbe Übertragungsfunktion hat. Bei dem ersten Faktor habe ich allerdings noch immer keine Ahnung. Ich finde in meinen Büchern, in denen etwas zu Filtern vorkommt, keine entsprechende Übertragungsfunktion.
\quoteon(2021-11-26 23:27 - rlk in Beitrag No. 5)
Welche physikalische Bedeutung hat $F(0)$?
\quoteoff
\(F(0)\) F(0) ist die Verstärkung für eine Gleichspannung, so dass ich \(F(0)=1\) so interpretieren würde, dass Gleichspannung den entsprechenden Filter ohne Verstärkung oder Abschwächung ,,passieren'' kann.
Ich habe nun schonmal den ,,Phasenverschiebungsanteil'' für die vorhandenen Faktoren berechnet. Wäre das soweit richtig?
\[\varphi_1=\arctan(\frac{f_{ue}}{f})\] für den zweiten und dritten Faktor.
Und \[\varphi_2=\arctan(\frac{\frac{f}{f_{4Z}}-\frac{f}{f_{4N}}}{1+\frac{f²}{f_{4Z} f_{4N}}})\] für den ersten Faktor. Deinen Hinweis bezüglich der Mehrdeutigkeit der Arkustangensfunktion muss ich hier ja nicht berücksichtigen, weil hier nur der 1. Quadrant betroffen ist, oder?
\quoteon(2021-11-26 23:27 - rlk in Beitrag No. 5)
Deine Überlegungen zur Phasenverschiebung sind richtig. Es sind aber mehr als 2 Asymptoten.
\quoteoff
Okay, die von mir gemessene Kurve sieht ungefähr so wie eine umgedrehte ,,Badewann'' aus. Ich würde zwei Asymptoten in dem Teil einzeichnen, in dem der Verlauf näherungsweise linear ist, und dann noch eine zur x-Achse parallele Asymptote.
In deiner ersten Antwort schreibst du ja, dass die Frequenzganggleichung durch einen Faktor, mit dem dann ein zusätzliches Tiefpassverhalten modelliert wird, ergänzt werden soll. Handelt es sich dann dabei um den Faktor \(\frac{1}{1+j \frac{f}{f_o}}\)?
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rlk
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| Beitrag No.7, eingetragen 2021-11-29
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Hallo Lux93,
\quoteon(2021-11-29 21:36 - Lux93 in Beitrag No. 6)
Okay, mir ist jetzt klar, dass es sich um RC-Hochpässe handelt, oder? Zumindest sehe ich, dass ein RC-Hochpass dieselbe Übertragungsfunktion hat.
\quoteoff
das ist richtig, Du solltest auch in der Schaltung erkennen, dass Signale mit niedrigen Frequenzen durch die in Serie geschalteten Kondensatoren abgeschwächt werden.
\quoteon(2021-11-29 21:36 - Lux93 in Beitrag No. 6)
Bei dem ersten Faktor habe ich allerdings noch immer keine Ahnung. Ich finde in meinen Büchern, in denen etwas zu Filtern vorkommt, keine entsprechende Übertragungsfunktion.
\quoteoff
Es handelt sich nicht um eines der klassischen Filtertypen (Hoch-, Tief-, Bandpass oder Bandsperre). Die Übertragungsfunktion besitzte eine Nullstelle bei $f_n=-j f_{4Z}$ und eine Polstelle bei $f_p=-j f_{4N}$, der Amplitudengang hat zwei horizontale Asymptoten und eine mit dem Anstieg 1 für $f_{4Z} < f < f_{4N}$. In der englischsprachigen Literatur wird dieses Filter als lead-lag Filter bezeichnet, eine deutschsprachige Bezeichnung kenne ich nicht.
\quoteon(2021-11-29 21:36 - Lux93 in Beitrag No. 6) \(F(0)\) ist die Verstärkung für eine Gleichspannung, so dass ich \(F(0)=1\) so interpretieren würde, dass Gleichspannung den entsprechenden Filter ohne Verstärkung oder Abschwächung ,,passieren'' kann.
\quoteoff
Genau. Für die Hochpassfilter gilt $F(0)=0$, was auch anschaulich klar ist, weil eine Gleichspannung am Eingan durch den in Serie liegenden Kondensator keine Auswirkung auf die Ausgangsspannung hat.
\quoteon(2021-11-29 21:36 - Lux93 in Beitrag No. 6)
Ich habe nun schonmal den ,,Phasenverschiebungsanteil'' für die vorhandenen Faktoren berechnet. Wäre das soweit richtig?
\[\varphi_1=\arctan(\frac{f_{ue}}{f})\] für den zweiten und dritten Faktor.
\quoteoff
Das stimmt für den zweiten Faktor, für den dritten muss $f_{ue}$ durch $f_{ua}$ ersetzt werden. Ich würde die entsprechenden Phasenverschiebungen $\varphi_2$ und $\varphi_3$ nennen.
\quoteon(2021-11-29 21:36 - Lux93 in Beitrag No. 6)
Und \[\varphi_2=\arctan(\frac{\frac{f}{f_{4Z}}-\frac{f}{f_{4N}}}{1+\frac{f²}{f_{4Z} f_{4N}}})\] für den ersten Faktor. Deinen Hinweis bezüglich der Mehrdeutigkeit der Arkustangensfunktion muss ich hier ja nicht berücksichtigen, weil hier nur der 1. Quadrant betroffen ist, oder?
\quoteoff
Die Differenz der Argumente von Zähler und Nenner liefert
\[\varphi_1=\arctan\left(\frac{f}{f_{4Z}}\right)-\arctan\left(\frac{f}{f_{4N}}\right)\qquad(LL)\]
Ob das mit Deiner Formel übereinstimmt, habe ich nicht überprüft. Die Formel $(LL)$ hat den Vorteil, dass sie sich leichter skizzieren lässt.
Deine Überlegung, dass die Zähler und Nenner der Faktoren im 1. Quadranten der gaußschen Zahlenebene liegen, ist richtig.
\quoteon(2021-11-29 21:36 - Lux93 in Beitrag No. 6)
Okay, die von mir gemessene Kurve sieht ungefähr so wie eine umgedrehte ,,Badewann'' aus. Ich würde zwei Asymptoten in dem Teil einzeichnen, in dem der Verlauf näherungsweise linear ist, und dann noch eine zur x-Achse parallele Asymptote.
In deiner ersten Antwort schreibst du ja, dass die Frequenzganggleichung durch einen Faktor, mit dem dann ein zusätzliches Tiefpassverhalten modelliert wird, ergänzt werden soll. Handelt es sich dann dabei um den Faktor \(\frac{1}{1+j \frac{f}{f_o}}\)?
\quoteoff
Die beiden Hochpassfilter liefern Asymptoten mit Anstiegen von +40 dB/Dekade und +20 dB/Dekade, diese stellen die linke Wand der Badewanne dar. Das Lead-Lag-Filter liefert zwei Knicke und der zusätzliche Faktor (das Tiefpassfilter) eine Asymptote mit dem Anstieg von -20 dB/Dekade, die der rechten Wand der Wanne entspricht. Welche Zahlenwerte erhältst Du für die Grenzfrequenzen $f_{ue}$, $f_{ua}$, $f_{4Z}$, $f_{4N}$ und $f_{o}$?
Servus,
Roland
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Lux93
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-01
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Hallo rlk,
für die Grenzfrequenzen erhalte ich: \( f_{ue}=23,17 Hz \), \( f_{ua}=25,21 Hz \), \( f_{4Z}=10,58 Hz \) und \( f_{4N}=26,74 Hz \). Die Grenzfreqzenz \( f_0 \) habe ich ja durch Messung bestimmt. Ich würde die morgen nochmal bei meiner Lösung angeben, weil ich gerade nicht zuhause bin und den Wert nicht im Kopf habe.
Die Frequenzganggleichung würde ich dann noch um den Faktor \( \frac{1}{1+j \frac{f}{f_o}} \) ergänzen.
Meine Formel zur Berechnung des Phasengangs würde dann \( \varphi_4 \) mit \( \varphi_4=- \arctan(\frac{f}{f_0}) \) hinzukommen. Wäre das soweit richtig?
Die Asymptoten habe ich mal beispielhaft eingezeichnet, wobei ich deutliche Abweichungen bei den Steigungen habe. Leider kann ich das hier nicht hochladen, weil die Datei zu groß ist. Ich probiere das morgen nochmal.
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rlk
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| Beitrag No.9, eingetragen 2021-12-01
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Hallo Lux93,
wenn die Grenzfrequenzen sich sowenig voneinander unterscheiden wie in Deinem Beispiel, dann sind die erwähnten Knicke an den Schnittpunkten der Asymptoten kaum sichtbar.
Noch ein paar Hinweise zur $\LaTeX$-Formatierung. Wie bei vielen anderen Programmen aus dem angloamerikanischen Raum ist bei $\LaTeX$ das Dezimaltrennzeichen der Punkt, nicht das Komma. Vergleiche $23.17$ und $23,17$. Wenn Du ein Dezimalkomma verwenden willst, kannst Du mit 23\mathord,17 dafür sorgen, dass der richtige Abstand verwendet wird: $23\mathord,17$.
In der Norm ISO 1000 [1] ist festgelegt, dass Einheitenzeichen in aufrechter Schrift mit einem Leerzeichen zwischen Maßzahl und Einheit zu schreiben sind, also $23\mathord,17~\mathrm{Hz}$ statt $23\mathord,17Hz$. Ich habe das zuerst in dem interessanten Artikel [2] gelesen.
[1] ISO 1000 “SI units and recommendations for the use
of their multiples and of certain other units”. In
ISO Standards Handbook N. 2. International Organization
for Standardization, Geneva, 2nd edition, 1982.
[2] Massimo Guiggiani and Lapo F. Mori
Suggestions on how not to mishandle mathematical formulæ
TUGboat 29, 2
Ich bin schon gespannt, den gemessenen Frequenzgang zu sehen.
Servus,
Roland
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Lux93
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-02
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Hallo rlk,
hier ist nochmal die Schaltung mit den Werten der entsprechenden Bauteile, die mir beim Versuch zur Verfügung standen. Auf dieser Grundlage habe ich die Grenzfrequenzen im vorigen Beitrag berechnet.
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/34511_20211202_125411.jpg
Das ist der von mir gemessene Amplitudengang:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/34511_20211201_211918.jpg
So würde ich dann die Asymptoten einzeichnen:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/34511_20211201_211918_LI.jpg
Meine Formel, die ich nun zur Berechnung des Phasengangs aufgestellt habe, lautet:
\[ \varphi = \arctan\left(\frac{f}{f_{4Z}}\right) - \arctan\left(\frac{f}{f_{4N}}\right) + \arctan\left(\frac{f_{ue}}{f}\right) + \arctan\left(\frac{f_{ua}}{f}\right) - \arctan\left(\frac{f}{f_0}\right) \]
Damit habe ich die folgenden Werte erhalten:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/34511_20211202_125512.jpg
Gezeichnet ergibt sich dann der folgende Phasengang:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/34511_20211202_125627.jpg
\quoteon(2021-12-01 23:09 - rlk in Beitrag No. 9)
Noch ein paar Hinweise zur $\LaTeX$-Formatierung. Wie bei vielen anderen Programmen aus dem angloamerikanischen Raum ist bei $\LaTeX$ das Dezimaltrennzeichen der Punkt, nicht das Komma. Vergleiche $23.17$ und $23,17$. Wenn Du ein Dezimalkomma verwenden willst, kannst Du mit 23\mathord,17 dafür sorgen, dass der richtige Abstand verwendet wird: $23\mathord,17$.
\quoteoff
Ich bin noch relativ neu in der $\LaTeX$-Welt und kannte bisher nur die Möglichkeit, Zahlenwerte mit Einheiten über das Paket "SIunits" sauber zu setzen. Es ist aber gut zu wissen, dass ich das auch hier über die Befehle \mathord und \mathrm vernünftig realisieren kann. Vielen Dank für den Hinweis und die interessanten Artikel.
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Lux93
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-17
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Also ich habe mittlerweile den Amplitudengang um eine fehlende Asymptote und den Phasengang noch um Werte für niedrige Frequenzen ergänzt.
Es ergibt sich aber ein neues Problem, wenn ich meine Resultate mit Matlab überprüfen möchte. Die folgende Eingabe liefert mir aber leider nicht das richtige Ergebnis.
\sourceon matlab
s = tf('s');
f1 = 0.99 * 18.88;
f2 = (1 + s / (2 * 3.1415 * 10.58)) / (1 + s / (s / (2 * 3.1415 * 26.74)));
f3 = (s / (2 * 3.1415 * 23.17)) / (1 + s / (2 * 3.1415 * 23.17));
f4 = (s / (2 * 3.1415 * 25.21)) / (1 + s / (2 * 3.1415 * 25.21));
f5 = 1 / (1 + s / (2 * 3.1415 * 48));
bode(f1 * f2 * f3 * f4 * f5); grid on;
\sourceoff
Das so erzeugte Bode-Diagramm sieht dann so aus:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/34511_Bode-Diagramm.jpg
Wenn ich z. B. nur den Faktor f5 darstellen lasse, erhalte ich das folgende Bode-Diagramm:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/34511_untitled.jpg
Kann mir jemand sagen, wo hier das Problem liegen könnte?
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rlk
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Wohnort: Wien
| Beitrag No.12, eingetragen 2021-12-17
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Hallo Lux93,
der Amplitudengang in Beitrag 10 sieht etwa so aus wie ich es erwartet habe, der Anstieg der Asymptoten passt aber nicht ganz: bei niedrigen Frequenzen sollten es wegen der beiden Hochpassfilter f2 und f3 +40 dB/Dekade sein und bei hohen Frequenzen führt der Tiefpass f5 zu einem Anstieg von -20 dB/Dekade, wie in dem zweiten Bodediagramm schön zu sehen ist.
Der Matlab-Code sieht richtig aus (nur die Grenzfrequenz in f5 sollte 48 kHz statt 48 Hz betragen), ich habe aber leider keine Erfahrung mit den Funktionen tf() und bode().
Das erste Bodediagramm ist jedenfalls falsch, von dem Tiefpassfilter ist nichts zu sehen. Die Funktion bodeplot() bietet mehr Einflussmöglichkeiten, zum Beispiel kannst Du den Frequenzbereich einstellen. Ich würde die Faktoren f1..f5 einzeln plotten, dann Produkte mit 2, 3, 4 und 5 Faktoren um zu sehen, wo der gezeichnete Frequenzgang vom erwarteten abweicht.
Servus,
Roland
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Lux93
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-20
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Okay, also den Grund für das unplausible Bode-Diagramm habe ich mittlerweile gefunden. Mir ist bei der Definition von f2 ein Fehler unterlaufen. Korrigiert man diesen, ergibt sich folgender Code, der sowohl mit bode() als auch mit bodeplot() zu einem plausiblen Bode-Diagramm führt:
\sourceon matlab
f1 = 0.99 * 18.88;
f2 = (1 + s / (2 * 3.1415 * 10.58)) / (1 + s / (2 * 3.1415 * 26.74));
f3 = (s / (2 * 3.1415 * 23.17)) / (1 + s / (2 * 3.1415 * 23.17));
f4 = (s / (2 * 3.1415 * 25.21)) / (1 + s / (2 * 3.1415 * 25.21));
f5 = 1 / (1 + s / (2 * 3.1415 * 48000));
bode(f1 * f2 * f3 * f4 * f5); grid on;
\sourceoff
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/34511_neu.jpg
Mein Phasengang aus Beitrag No. 10 ist zudem auch nicht ganz richtig, weil ich die Werte für \(\varphi\) mit \(f_o = 48~\mathrm{Hz}\) statt mit \(f_o = 48~\mathrm{k \Omega}\) berechnet habe.
Ich habe noch eine allerletzte Frage bezüglich der Modellierung mit der Übertragungsfunktion: Ist es richtig, dass es sich hierbei lediglich um eine Näherung handelt und mein gemessener Amplitudengang somit von einem mit Matlab theoretisch ermittelten Amplitudengang etwas abweichen kann? Natürlich spielen Messfehler auch eine Rolle, wobei das bei diesem Versuch nicht thematisiert wurde. Außerdem habe ich das Gefühl, dass die Größe der Abweichungen schon eher dafür spricht, dass das mit der Übertragungsfunktion nur eine Näherung ist.
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Lux93
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-21
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Also ich wollte nur nochmal sicherstellen, dass ich jetzt alles Asymptoten eingezeichnet habe. Du schreibst in Beitrag No. 7, dass es zwei horizontale Asymptoten gibt, ich sehe aber nur eine Möglichkeit zum Einzeichnen einer horizontalen Asymptote.
Sind das jetzt also alle oder fehlt noch etwas?
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/34511_Bild_2_-min.jpg
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rlk
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| Beitrag No.15, eingetragen 2021-12-23
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Hallo Lux93,
\quoteon(2021-12-20 09:36 - Lux93 in Beitrag No. 13)
Okay, also den Grund für das unplausible Bode-Diagramm habe ich mittlerweile gefunden. Mir ist bei der Definition von f2 ein Fehler unterlaufen.
\quoteoff
da habe ich leider nicht genau gelesen, den Fehler hätte ich sehen sollen.
\quoteon(2021-12-20 09:36 - Lux93 in Beitrag No. 13)
Ich habe noch eine allerletzte Frage bezüglich der Modellierung mit der Übertragungsfunktion: Ist es richtig, dass es sich hierbei lediglich um eine Näherung handelt und mein gemessener Amplitudengang somit von einem mit Matlab theoretisch ermittelten Amplitudengang etwas abweichen kann? Natürlich spielen Messfehler auch eine Rolle, wobei das bei diesem Versuch nicht thematisiert wurde. Außerdem habe ich das Gefühl, dass die Größe der Abweichungen schon eher dafür spricht, dass das mit der Übertragungsfunktion nur eine Näherung ist.
\quoteoff
Ja, Abweichungen zwischen dem gemessenen und dem berechneten Frequenzgang sind zu erwarten. Zum einen ist das Modell nicht vollständig, es sagt ja nur die unteren Grenzfrequenzen voraus, zum anderen haben die Bauteile Toleranzen, die zu Unterschieden zwischen den gemessenen und berechneten Grenzfrequenzen führen.
In Beitrag 14 hast Du eine weitere Asymptote mit einem Anstieg von -40 dB/Dekade eingezeichnet, diese entspricht ja einem weiteren Tiefpassterm ähnlich zu f5. Die Gerade durch Punkte $(50~\mathrm{Hz}, 30.7~\mathrm{dB})$ und $(100~\mathrm{Hz}, 32.7~\mathrm{dB})$ ist keine Asymptote, die sich aus der rationalen Übertragungsfunktion ergibt. Diese haben die Form $A(f)=(f/f_A)^n$ mit ganzzahligem Exponenten $n$, in der doppeltlogarithmischen Darstellung haben sie den Anstieg $20n~\mathrm{dB/Dekade})$.
Die beiden horizontalen Asymptoten, von denen ich in Beitrag No. 7 geschrieben habe, beziehen sich auf die Übertragungsfunktion
\[ F_2(f) = \frac{1+jf/f_{4Z}}{1+jf/f_{4N}} \]
die sich für $f \ll f_{4Z} < f_{4N}$ dem Wert 1 nähert und für $f \gg f_{4N} > f_{4Z}$ gegen
\[ \frac{jf/f_{4Z}}{jf/f_{4N}} = \frac{f_{4N}}{f_{4Z}} = \frac{26.74}{10.58} \approx 2.527 \]
strebt. Wegen der beiden Hochpassfilter mit ähnlichen Grenzfrequenzen sind diese Asymptoten im Frequenzgang des Verstärkers nicht erkennbar.
Servus,
Roland
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Lux93
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-23
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Hallo rlk,
\quoteon(2021-12-23 12:38 - rlk in Beitrag No. 15)
da habe ich leider nicht genau gelesen, den Fehler hätte ich sehen sollen.
\quoteoff
Alles gut, ich verstehe auch nicht, warum mir das nicht schneller aufgefallen ist.
\quoteon(2021-12-23 12:38 - rlk in Beitrag No. 15)
Ja, Abweichungen zwischen dem gemessenen und dem berechneten Frequenzgang sind zu erwarten. Zum einen ist das Modell nicht vollständig, es sagt ja nur die unteren Grenzfrequenzen voraus, zum anderen haben die Bauteile Toleranzen, die zu Unterschieden zwischen den gemessenen und berechneten Grenzfrequenzen führen.
\quoteoff
Okay, ich habe noch eine prinzipielle Frage zu dieser ganzen Modellierung, die ich aber erst am Ende stellen würde, wenn das mit den Asymptoten geklärt ist.
\quoteon(2021-12-23 12:38 - rlk in Beitrag No. 15)
In Beitrag 14 hast Du eine weitere Asymptote mit einem Anstieg von -40 dB/Dekade eingezeichnet, diese entspricht ja einem weiteren Tiefpassterm ähnlich zu f5. Die Gerade durch Punkte $(50~\mathrm{Hz}, 30.7~\mathrm{dB})$ und $(100~\mathrm{Hz}, 32.7~\mathrm{dB})$ ist keine Asymptote, die sich aus der rationalen Übertragungsfunktion ergibt. Diese haben die Form $A(f)=(f/f_A)^n$ mit ganzzahligem Exponenten $n$, in der doppeltlogarithmischen Darstellung haben sie den Anstieg $20n~\mathrm{dB/Dekade})$.
\quoteoff
Ich hatte auch schon das Gefühl, dass diese Asymptoten nicht richtig sind. Ich habe diese weiteren Asymptoten eingezeichnet, weil ich den folgenden gezeichneten Amplitudengang mit dem Korrekturhinweis ,,fehlende Asymptoten ergänzen'' zurückbekommen habe.
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/34511_richter_Amplitudengang_korrigiert-min.jpg
An dieser Stelle sei noch erwähnt, dass dieser gezeichnete Amplitudengang von denen in Beitrag No. 14 und Beitrag No. 10 abweicht. In Beitrag No. 14 habe ich den Amplitudengang benutzt, der sich rechnerisch ergibt, weil ich dachte, so besser erkennen zu können, wo noch weitere Asymptoten einzuzeichnen sind. In Beitrag No. 10 habe ich z. T. falsche Punkte eingezeichnet, so dass dieser Amplitudengang komplett verworfen werden kann.
Ich bin mir unsicher, wo noch Asymptoten ergänzt werden sollen. In dem nun richtig gezeichneten Amplitudengang (, welcher auch in diesem Beitrag ist) sehe ich noch Knicke an den Stellen \(f = 100~\mathrm{Hz}\), \(f = 200~\mathrm{Hz}\), \(f = 500~\mathrm{Hz}\), \(f = 5~\mathrm{kHz}\), \(f = 10~\mathrm{kHz}\) und \(f = 20~\mathrm{kHz}\). Dadurch ergibt sich für mich die Vermutung, dass ich noch eine (näherungsweise horizontale) Asymptote durch die Punkte \((100~\mathrm{Hz}|32\mathord,35~\mathrm{dB})\), \((200~\mathrm{Hz}|32\mathord,65~\mathrm{dB})\), \((10~\mathrm{kHz}|32\mathord,65~\mathrm{dB})\) und \((20~\mathrm{kHz}|20\mathord,15~\mathrm{dB})\) zeichnen könnte. Zudem eine durch die Punkte \((200~\mathrm{Hz}|32\mathord,65~\mathrm{dB})\) und \((500~\mathrm{Hz}|33\mathord,85~\mathrm{dB})\) sowie eine durch die Punkte \((5~\mathrm{kHz}|33\mathord,85~\mathrm{dB})\) und \((10~\mathrm{kHz}|32\mathord,65~\mathrm{dB})\), so dass ich dann insgesamt 7 Asymptoten hätte. Wäre das richtig?
Ich gehe mal davon aus, dass man merkt, dass ich mir im Moment noch nicht sicher, die Anzahl und Lage der Asymptoten aus der Übertragungsfunktion herleiten kann. Auch dazu wollte ich am Ende auf jeden Fall nochmal eine prinzipielle Frage stellen.
Es gibt noch eine andere Sache, die mich verunsichert, obwohl dies vom Korrektor nicht beanstandet wurde. Ich sehe bei dem Amplitudengang überhaupt keinen Zusammenhang zwischen den berechneten Grenzfrequenzen \(f_{ue}\), \(f_{ua}\) usw. und den Knicken im Amplitudengang bzw. den Stellen, an denen die Verstärkung um \(3~\mathrm{Hz}\) abnimmt. Es kann sein, dass ich falsch liege, weil hier eine komplexere Übertragungsfunktion vorliegt, aber immer wenn ich mal probeweise einfachere Übertragungsfunktionen mit Matlab betrachtet habe, konnte ich da gewisse Zusammenhänge sehen.
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rlk
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| Beitrag No.17, eingetragen 2021-12-31
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Hallo Lux93,
kannst Du beschreiben, wie Du die Asymptoten bestimmst? Wie bereits erwähnt, haben die Asymptoten Anstiege von $20n~\mathrm{dB/Dekade}$ mit ganzzahligem $n$, was bei einer der Geraden in Beitrag 16 nicht der Fall ist. Die Punkte bei $200~\mathrm{Hz}$ und $10~\mathrm{kHz}$ liegen tiefer als der Verlauf des Amplitudengangs erwarten lässt, kannst Du sie nocheinmal überprüfen?
Die in Absatz 3.2.1 der Aufgabenstellung verlangte Asymptotennäherung des Amplitudengangs ist ein Polygonzug, der bei jeder der Frequenzen $f_{4Z}$, $f_{4N}$, $f_{ue}$, $f_{ua}$ und $f_{o}$ eine Ecke hat.
Deine Beobachtung, dass die Amplitude bei einer Eckfrequenz eines Tief- oder Hochpassfilters erster Ordnung um $3~\mathrm{dB}$ gegenüber der horizontalen Asymptote abgenommen hat, ist richtig. Liegen mehrere Grenzfrequenzen nahe beeinander, so addieren sich die Dämpfungen der Teilfilter und es ergeben sich andere Werte.
Einen guten Rutsch wünscht Dir
Roland
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Lux93
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| Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-07
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Hallo rlk,
\quoteon(2021-12-31 22:51 - rlk in Beitrag No. 17)
kannst Du beschreiben, wie Du die Asymptoten bestimmst? Wie bereits erwähnt, haben die Asymptoten Anstiege von $20n~\mathrm{dB/Dekade}$ mit ganzzahligem $n$, was bei einer der Geraden in Beitrag 16 nicht der Fall ist. Die Punkte bei $200~\mathrm{Hz}$ und $10~\mathrm{kHz}$ liegen tiefer als der Verlauf des Amplitudengangs erwarten lässt, kannst Du sie nocheinmal überprüfen?
\quoteoff
Ich habe jetzt nochmal eine Weile mit verschiedenen Übertragungsfunktionen bei Matlab herumexperimentiert und kann den Zusammenhang zwischen Asymptoten und Null- bzw. Polstellen der Übertragungsfunktion in vielen Fällen nun nachvollziehen.
Du hattest Recht mit deiner Vermutung, dass die von dir genannten Punkte im Amplitudengang nicht richtig sind. Darüber hinaus habe ich für weitere Frequenzen die dBu-Werte aus meinen Messwerten falsch berechnet, so dass sich im Amplitudengang auch eine geringere größtmögliche Verstärkung gibt.
\quoteon(2021-12-31 22:51 - rlk in Beitrag No. 17)
Die in Absatz 3.2.1 der Aufgabenstellung verlangte Asymptotennäherung des Amplitudengangs ist ein Polygonzug, der bei jeder der Frequenzen $f_{4Z}$, $f_{4N}$, $f_{ue}$, $f_{ua}$ und $f_{o}$ eine Ecke hat.
\quoteoff
Das war mir leider recht lange nicht klar. Ich muss zu meiner Verteidigung sagen, dass wir Bode-Diagramme bisher nur vergleichsweise kurz im Zusammenhang mit einfachen Filtern behandelt haben. Mittlerweile habe ich dazu aber mal mehr in einem Buch zur Regelungstechnik nachgelesen.
Durch Gespräche mit Kommilitonen habe ich allerdings den Eindruck bekommen, dass unser Professor gar nicht alle Asymptoten eingezeichnet haben möchte. Nach Rücksprache mit dem Professor hat sich letztendlich rausgestellt, dass das folgende Amplitudendiagramm ausreichend gewesen wäre.
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/34511_komprimiert.jpg
Aus meiner Sicht ist die Aufgabenstellung daher missverständlich gestellt. Außerdem war der Korrekturhinweis ,,Asymptoten ergänzen'' bei meinem abgegebenen Amplitudengang auch nicht besonders hilfreich und eher irreführend.
Der Vollständigkeit halber ist hier auch nochmal mein aus den berechneten Werten erstellter Phasengang:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/34511_Bild.jpg
Ich bedanke mich für deine Hilfe und deine Geduld, rlk, und wünsche dir ein frohes neues Jahr!
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Lux93 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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