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Analysis » Maßtheorie » Folge nicht fast überall gegen f konvergent
Autor
Universität/Hochschule J Folge nicht fast überall gegen f konvergent
chicolino
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 05.07.2019
Mitteilungen: 76
  Themenstart: 2021-11-24

Moin, ich rechne alte Klausuraufgaben durch und ich komme nicht weiter. Die Aufgabe lautet Es sei $\mu$ ein Maß auf $X$, und $f_{k} \rightarrow f$ in $L^{p}$ für ein $1 \le p < \infty$. Zeigen Sie $f_{k} \rightarrow f$ im Maß bzgl. $\mu$ und geben Sie ein Beispiel an, für das $f_{k}$ nicht $\mu$ - fast überall konvergiert. Für den ersten Teil habe ich einen Ansatz. Für den zweiten habe ich keine Ahnung... Ein Kommilitone meinte, dass man vielleicht mit der Folge $f_{k}:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ definiert durch $f_{k} := 1_{[j2^{- l}, (j + 1)2^{- l }]}$ für $k = 2^{l} + j, 0 \le j < 2^{l}, l \in \mathbb{N}$ etwas anfangen könnte. Hat jemand eine Idee? Wäre super. Gruß

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semasch
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Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 481
Wohnort: Wien
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-24

Moin chicolino, die von deinem Kommilitonen vorgeschlagene Folge ist in der Tat zielführend. Um das zu erkennen, könntest du mal die ersten paar Folgenglieder \[(f_k) = (1_{[0,1]}, 1_{[0,1/2]}, 1_{[1/2,1]}, 1_{[0,1/4]}, 1_{[1/4,2/4]}, 1_{[2/4,3/4]}, 1_{[3/4,1]}, \ldots)\] betrachten. Versuche, darin ein Muster zu erkennen und damit dann zu beweisen, dass (i) $\|f_k\|_{L^p} \to 0$ und (ii) für alle $x \in [0,1]$ \[\liminf_k f_k(x) = 0, \limsup_k f_k(x) = 1\] gilt, womit die Folge in keinem Punkt von $[0,1]$ konvergent ist. LG, semasch

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chicolino
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Dabei seit: 05.07.2019
Mitteilungen: 76
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-28

Auch hier danke ich dir :-) Habe es mittlerweile verstanden! Gruß

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chicolino hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
chicolino hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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