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 Vektor Richtungsableitung berechnen |
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laura2
Junior 
Dabei seit: 25.11.2021
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 |  Themenstart: 2021-11-25
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Hey Leute,
wäre echt super, wenn ihr mir helfen würdet!
Für die Richtungsableitung von \varphi=xyz in Richtung (x,y,z) erhalte ich (3xyz)/sqrt(x^2+y^2+z^2).
Als explizites Ergebnis an der Stelle (1,1,1) erhalte ich sqrt(3).
Soweit klar. Jetzt meine Frage: in welcher Richtung wäre an dieser Stelle die Richtungsableitung am größten? Wie soll ich da vorgehen? Was darf man eigentlich als "Richtungsvektor" alles verwenden? Nnur (\pm x,\pm y,\pm z) oder beliebige Werte?
Danke!
Liebe Grüße :)
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nzimme10
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-25
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
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\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo Laura und willkommen hier im Forum :)
Was man alles als Richtungsvektoren benutzen "darf" hängt davon ab, wie man die Richtungsableitungen definiert. Möchte man wirklich nur von der Ableitung in eine Richtung sprechen, dann beschränkt man sich auf Richtungsvektoren der Länge (Norm) $1$. Möchte man von der Ableitung "entlang eines Vektors" sprechen, dann kann man beliebige Vektoren als Richtungsvektoren zulassen. Das sind offenbar verschiedene Konzepte. Bei letzterem kommt es eben auch auf die Länge des Vektors an, also wie schnell man sich an einer entsprechenden Stelle in die jeweilige Richtung bewegt. Bei dem ersten Konzept kommt es wirklich nur auf die Richtung an. Die Ergebnisse unterscheiden sich also.
In deinem Fall haben wir die Abbildung $\Phi\colon \mathbb R^3\to \mathbb R, \ \Phi(x,y,z)=xyz$.
Meine Frage an dich lautet zunächst: Kennst du schon den Begriff des Differentials einer Funktion an einer Stelle?
Auch denke ich, dass du einen kleinen Denkfehler gemacht hast, der an der doppelten Verwendung von $(x,y,z)$ liegen könnte (Edit: Hier war ich selbst verwirrt. Man sollte die Ableitung an einer Stelle $(x,y,z)$ in Richtung $(x,y,z)$ bestimmen.). Zunächst verwende ich für die Ableitung von $\Phi$ in Richtung $v\in \mathbb R^3$ an der Stelle $x_0\in \mathbb R^3$ die Definition
$$
D_v\Phi(x_0):=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \Phi(x_0+tv)\bigg|_{t=0}=\lim_{t\to 0} \frac{\Phi(x_0+tv)-\Phi(x_0)}{t}.
$$
Ist nun $v=(v_1,v_2,v_3)$, so erhalten wir also für die Stelle $x_0=(1,1,1)$
$$
D_v\Phi(1,1,1)=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \Phi((1+tv_1,1+tv_2,1+tv_3))\bigg|_{t=0}=v_1+v_2+v_3.
$$
Mit Hilfe des Differentials von $\Phi$ lässt sich das auch einfacher berechnen durch
$$
D_v\Phi(1,1,1)=D\Phi(1,1,1)(v)=\langle (1,1,1),(v_1,v_2,v_3)\rangle=v_1+v_2+v_3.
$$
So wie deine Frage gestellt ist denke ich, dass du nur mit der Richtungsableitung in normierte Richtungen arbeitest. Dann muss man eben noch durch die Norm von $v$ dividieren (insbesondere muss also $v\neq 0$ sein) und erhält dann
$$
\frac{v_1+v_2+v_3}{\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}}
$$
als Richtungsableitung an der Stelle $(1,1,1)$ in Richtung $v$.
LG Nico\(\endgroup\)
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laura2
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-25
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Hey Nico,
danke für deine Anwtort!
\quoteon(2021-11-25 17:56 - nzimme10 in Beitrag No. 1)
Meine Frage an dich lautet zunächst: Kennst du schon den Begriff des Differentials einer Funktion an einer Stelle?
\quoteoff
Heißt für mich Ableitung berechnen und den Wert berechnen, wenn man die bestimmte Stelle einsetzt. Bin mir nicht ganz sicher, was du meinst.
Liebe Grüße
Laura
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nzimme10
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-11-25
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Hallo Laura,
entschuldige, ich habe meine obige Antwort nochmal erweitert. Am besten schaust du dir das zunächst an, dass wir beide auf dem selben Stand der Dinge sind.
LG Nico
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laura2
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-25
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Hey Nico,
brauchst dich nicht entschuldigen, ich bin dir dankbar, dass du mir hilfst😃
Sorry, wir haben eine etwas andere Schreibweise.
Wir haben in der Vorlesung gelernt dass
\[\frac{\delta \phi}{\delta \vec{a}}=\frac{1}{\vec{a}}\cdot\vec{a}\cdot D\phi\]
Weiters haben wir gelernt, dass \(D\phi\) der Vektor der partiellen Ableitungen von \(\phi\) nach \(x,y,z\) ist -> das wäre doch \((yz,xz,xy)\)?
\quoteon(2021-11-25 17:56 - nzimme10 in Beitrag No. 1)
Auch denke ich, dass du einen kleinen Denkfehler gemacht hast, der an der doppelten Verwendung von $(x,y,z)$ liegen könnte.
\quoteoff
Das ist natürlich ein riesen Unterschied! Ich habe überhaupt nicht darüber nachgedacht, weil das ja auch so gegeben war: "berechne die richtungsableitung von \(\phi=xyz\) in Richtung \(\vec{r}=(x,y,z)\)" (der Teil mit bestimmten Stellen usw. kommt erst später)
Wie berechne ich nun die Richtungsableitung im allgemeinen Fall?
Danke dir!
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nzimme10
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-11-25
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo Laura,
ich habe dir in meiner obigen Antwort doch schon "den allgemeinen Fall" gezeigt.
Das muss sicher eine Vorlesung für Physiker sein, bei dieser Notation!😁
Ganz allgemein kann man zeigen: Sei $f\colon \mathbb R^n\to \mathbb R$ total differenzierbar in $x_0\in \mathbb R^n$ sowie $v\in \mathbb R^n$. Dann gilt
$$
D_vf(x_0)=Df(x_0)(v)=\langle \opn{grad}(f)(x_0),v\rangle.
$$
Dabei bezeichnet $Df(x_0)$ das Differential von $f$ in $x_0$ und $\langle \cdot,\cdot\rangle$ das kanonische Skalarprodukt. Das Differential ist in diesem Fall die lineare Abbildung
$$
Df(x_0)\colon \mathbb R^n\to \mathbb R, \ x\mapsto \langle \opn{grad}(f)(x_0),x\rangle,
$$
wobei $\opn{grad}(f)(x_0)$ den Gradienten von $f$ in $x_0$ bezeichnet. Der Gradient ist dabei eigentlich genau das, was ihr als den Vektor $D\Phi$ bezeichnet habt. Diese Identifikation ist durchaus üblich, wenn auch etwas unpräzise.
Das stimmt (bis auf das Normieren) genau mit der Definition in deiner Notation überein (wobei $\frac{1}{\vec \alpha}$ natürlich keinen Sinn ergibt. Hier wird $\frac{1}{\lVert \vec \alpha\rVert}$ gemeint sein).
Wenn du weitere Fragen hast oder immer noch etwas unklar ist, so melde dich einfach wieder.
Ich verstehe allerdings deine Aufgabenstellung trotzdem nicht ganz. Ist damit gemeint, dass man einer beliebigen Stelle $x_0=(x,y,z)$ die Richtungsableitung auch in die Richtung $v=(x,y,z)$ bestimmen soll?
Wenn dem so ist, dann erhalten wir natürlich
$$
D_v\Phi(x_0)=\langle (yz,xz,xy),(x,y,z)\rangle=xyz+xyz+xyz=3xyz
$$
oder wenn man nur normierte Richtungen betrachtet
$$
\frac{3xyz}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}.
$$
In diesem Fall stimmt natürlich das, was du am Anfang gemacht hast und ich war einfach verwirrt :D Wollen wir hingegen an einer beliebigen Stelle $x_0=(x,y,z)$ in eine beliebige Richtung $v=(v_1,v_2,v_3)$ ableiten, so erhalten wir
$$
D_v\Phi(x_0)=\langle (yz,xz,xy),(v_1,v_2,v_3)\rangle =v_1yz+v_2xz+v_3xy
$$
oder wenn wir nur normierte Richtungen betrachten
$$
\frac{v_1yz+v_2xz+v_3xy}{\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}}.
$$
LG Nico\(\endgroup\)
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laura2
Junior
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-25
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Hey Nico,
danke, dass du dir soviel Zeit nimmst!
Soweit komme ich gut mit.
\quoteon(2021-11-25 19:03 - nzimme10 in Beitrag No. 5)
Das stimmt (bis auf das Normieren) genau mit der Definition in deiner Notation überein (wobei $\frac{1}{\vec \alpha}$ natürlich keinen Sinn ergibt. Hier wird $\frac{1}{\lVert \vec \alpha\rVert}$ gemeint sein).
\quoteoff
Natürlich, sorry Tippfehler.
\quoteon(2021-11-25 19:03 - nzimme10 in Beitrag No. 5)
Ich verstehe allerdings deine Aufgabenstellung trotzdem nicht ganz. Ist damit gemeint, dass man einer beliebigen Stelle $x_0=(x,y,z)$ die Richtungsableitung auch in die Richtung $v=(x,y,z)$ bestimmen soll?
\quoteoff
Die Aufgabenstellung ist exakt so gegeben:
\quoteon(2021-11-25 18:46 - laura2 in Beitrag No. 4)
"berechne die richtungsableitung von \(\phi=xyz\) in Richtung \(\vec{r}=(x,y,z)\)"
\quoteoff
Also sollte \(\frac{3xyz}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\) richtig sein?
Im zweiten Teil der Aufgabe soll ich die Richtungableitung an der Stelle \((1,1,1)\) angeben, die mMn \(\sqrt{3}\) ist (Einsetzen in \(\frac{3xyz}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)).
Zusätzlich soll ich herausfinden, in welcher Richtung die Richtungsableitung an dieser Stelle am größten wäre. Wie soll ich da vorgehen?
Liebe Grüße
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nzimme10
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| Beitrag No.7, eingetragen 2021-11-25
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
\quoteon(2021-11-25 19:47 - laura2 in Beitrag No. 6)
Im zweiten Teil der Aufgabe soll ich die Richtungableitung an der Stelle \((1,1,1)\) angeben, die mMn \(\sqrt{3}\) ist (Einsetzen in \(\frac{3xyz}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)).
Zusätzlich soll ich herausfinden, in welcher Richtung die Richtungsableitung an dieser Stelle am größten wäre. Wie soll ich da vorgehen?
\quoteoff
Die Richtungsableitung an der Stelle $(1,1,1)$ in Richtung $(1,1,1)$ ist gegeben durch
$$
\frac{3xyz}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\bigg|_{(x,y,z)=(1,1,1)}=\frac{3\cdot 1\cdot 1\cdot 1}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{3}{\sqrt 3}=\sqrt 3.
$$
Für die andere Frage musst du einen Vektor $v=(v_1,v_2,v_3)$ finden, so dass
$$
D_v\Phi(1,1,1)=\frac{v_1\cdot 1\cdot 1+v_2\cdot 1\cdot 1+v_3\cdot 1\cdot 1}{\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}}=\frac{v_1+v_2+v_3}{\lVert v\rVert}
$$
maximal wird. Bezeichnet $S^2$ die Einheitssphäre in $\mathbb R^3$, also alle $v\in \mathbb R^3$ mit $\lVert v\rVert=1$, so ist das äquivalent dazu, das Maximum der Funktion
$$
f\colon S^2\to \mathbb R, \ f(x,y,z)=x+y+z
$$
zu finden.
LG Nico\(\endgroup\)
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laura2
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-25
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\quoteon(2021-11-25 20:06 - nzimme10 in Beitrag No. 7)
musst du einen Vektor $v=(v_1,v_2,v_3)$ finden, so dass
$$
D_v\Phi(1,1,1)=\frac{v_1\cdot 1\cdot 1+v_2\cdot 1\cdot 1+v_3\cdot 1\cdot 1}{\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}}=\frac{v_1+v_2+v_3}{\lVert v\rVert}
$$
maximal wird.
\quoteoff
Finde ich logisch.
\quoteon Bezeichnet $S^2$ die Einheitssphäre in $\mathbb R^3$, also alle $v\in \mathbb R^3$ mit $\lVert v\rVert=1$, so ist das äquivalent dazu, das Maximum der Funktion
$$
f\colon S^2\to \mathbb R, \ f(x,y,z)=x+y+z
$$
zu finden.
\quoteoff
Ich habe jetzt verstanden, was \(S^2\) bedeutet. Aber was ist dann mit dem gegebenen Vektor \((1,1,1)\)? Dessen Betrag ist ja \(\sqrt{3}\neq1\)?
Lg
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nzimme10
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Dabei seit: 01.11.2020
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| Beitrag No.9, eingetragen 2021-11-25
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
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\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
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\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
du befindest dich nun an der Stelle $x_0=(1,1,1)$ und möchtest schauen in welche Richtung die Ableitung an dieser Stelle am größten ist. Zur Richtungsableitung gehören immer zwei Dinge: Eine Stelle $x_0$ an der man sich gerade befindet und eine Richtung $v$ in die man ableiten will. $(1,1,1)$ ist nun für deine zweite Frage die Stelle. $v$ gilt es nun so zu bestimmen, dass $D_v\Phi(1,1,1)$ maximal wird.
Edit: Hier wird vielleicht der Unterschied zwischen den beiden Definitionen wichtig. Wir wollen ja nur wissen in welche Richtung die Ableitung am größten wird. Also können wir uns von vorne rein auf Richtungsvektoren der Länge 1 beschränken. Beachte nämlich, dass für $v\in \mathbb R^3$ mit $v\neq 0$ gilt
$$
\frac{v_1+v_2+v_3}{\lVert v\rVert}=\frac{v_1}{\lVert v\rVert}+\frac{v_2}{\lVert v\rVert}+\frac{v_3}{\lVert v\rVert}=f\left(\frac{v}{\lVert v\rVert}\right),
$$
wobei auch hier $f(x,y,z)=x+y+z$ sein soll. Wir sehen also: Das Maximum des linken Ausdrucks ist gerade das Maximum von $f$ auf $S^2$.
LG Nico\(\endgroup\)
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laura2
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Dabei seit: 25.11.2021
Mitteilungen: 10
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-26
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Nico,
ich glaube ich bin zu doof dafür🙁
Was wäre denn die Lösung? Vielleicht verstehe ich es dann...
Lg Laura
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2076
Wohnort: Köln
| Beitrag No.11, eingetragen 2021-11-26
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo Laura,
das denke ich nicht. Es ist nicht schlimm, wenn man nicht weiter kommt. Sicherlich liegt das nicht dran, dass man "zu dumm" ist. Manchmal braucht man einfach einen Schritt zurück.
Wo stehen wir gerade?
Wir haben die Abbildung $\Phi\colon \mathbb R^3\to \mathbb R$ gegeben durch $\Phi(x,y,z)=xyz$. Weiter befinden wir uns gerade am Punkt $x_0=(1,1,1)$ im $\mathbb R^3$. Geben wir uns eine beliebige Richtung $v\in \mathbb R^3$ mit $v=(v_1,v_2,v_3)$ vor, dann haben wir bereits berechnet, dass die Richtungsableitung von $\Phi$ am Punkt $x_0=(1,1,1)$ in Richtung des Vektors $v=(v_1,v_2,v_3)$ durch
$$
\frac{v_1+v_2+v_3}{\lVert v\rVert}
$$
gegeben ist.
Was wollen wir nun?
Wir wollen nun die Richtung $v$ finden, so dass der obige Ausdruck maximal wird. Beachte, dass das Maximum des obigen Ausdrucks nur davon abhängt in welche Richtung $v$ zeigt und nicht wie lang $v$ ist, da wir ja durch die Länge von $v$ teilen. Für unsere Suche nach der Richtung können wir uns also auf solche $v$ beschränken, die Norm (Länge) $1$ haben und uns "geteilt durch die Norm von $v$" sparen.
Wie finden wir das?
Das ist nun nur noch das Problem das Maximum einer Funktion unter einer Nebenbedingung zu finden. Konkret:
Finde das Maximum der Funktion $f(v_1,v_2,v_3)=v_1+v_2+v_3$ unter der Nebenbedingung $v_1^2+v_2^2+v_3^2=1$.
LG Nico\(\endgroup\)
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laura2
Junior
Dabei seit: 25.11.2021
Mitteilungen: 10
| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-26
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Hey Nico,
danke für deine neuerliche Erklärung, die war sehr gut!
Ich habe jetzt mal das Maximum bestimmt und komme auf \[\vec{v}=\left(\sqrt{\frac{1}{3}},\sqrt{\frac{1}{3}},\sqrt{\frac{1}{3}}\right)\]
Testweise habe ich die Richtungsableitung an dieser Stelle berechnet und komme wieder auf \(\sqrt{3}\).
Was sagst du?
Lg
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2556
| Beitrag No.13, eingetragen 2021-11-26
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Huhu Laura,
herzlich willkommen auf dem Planeten. Das Ergebnis ist wenig überraschend, wenn du verstanden hast, was der Gradient ist. Schau dir ansonsten nochmal die ersten 10 Minuten dort an (es startet sogar mit einer sehr passenden Begrüßung), dann solltest du selbst beurteilen können, ob dein Ergebnis korrekt ist.
https://www.youtube.com/watch?v=o5PsLJbeiNE
Gruß,
Küstenkind
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laura2
Junior
Dabei seit: 25.11.2021
Mitteilungen: 10
| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-26
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2076
Wohnort: Köln
| Beitrag No.15, eingetragen 2021-11-26
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Hallo,
gerne Laura. Genau, ich habe mit Absicht den Gradienten nicht erwähnt, da ich dir den Luxus gönnen wollte das selbst zu bemerken.
Ansonsten ist deine Lösung natürlich richtig.
LG Nico
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laura2 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
laura2 hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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