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| Autor |
 D²(x) & D³(x) aus D(x) bestimmen |
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hula123
Junior 
Dabei seit: 10.11.2020
Mitteilungen: 16
 |  Themenstart: 2021-11-25
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Moin,
D(x) = {2x für 0 ≤ x < 1/2,
{2x-1 für 1/2 ≤ x < 1.
Gesucht: Expliziter Ausdruck für D²(x) und D³(x).
Verstehe es nicht..
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LetsLearnTogether
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Dabei seit: 27.06.2021
Mitteilungen: 134
| Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-25
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Hallo,
kannst du die Aufgabe im originalen Wortlaut angeben?
Es ist nicht direkt klar, was du mit $D^2(x)$ meinst.
Es könnte das Produkt gemeint sein, oder eventuell auch die Verkettung von $D$ mit sich selbst.
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StrgAltEntf
Senior 
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8197
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-11-25
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Moin,
gemeint ist wohl \(D:[0,1)\to[0,1)\) mit
$$D(x) = \begin{cases}
2x & \text{für }0\leq x < \frac12 \\
2x-1 & \text{für }\frac12\leq x < 1
\end{cases}$$
und \(D^2(x)=D(D(x))\).
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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hula123
Junior
Dabei seit: 10.11.2020
Mitteilungen: 16
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-25
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Hey,
es geht um dyn. Systeme, also die Verkettung mit sich selbst.
Die Verkettung mit sich selbst ist mir soweit klar, aber die Ergebnisse, die ich dazu habe, sind mir nicht klar und ich möchte verstehen, wie es dazu kommt.
Edit: was StrgAltEntf ist korrekt.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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LetsLearnTogether
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Dabei seit: 27.06.2021
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| Beitrag No.4, eingetragen 2021-11-25
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Naja, wenn du $D$ mit sich selbst verkettest, dann ist ja
$D^2(x)=D\left(\begin{cases}2x\quad\text{für $0\leq x <\frac12$}\\2x-1\quad\text{$\frac12\leq x < 1$}\end{cases}\right)$
Jetzt geht es darum ob du das weiter "ausrechnen" kannst.
Welche Werte werden denn unter den gegebenen Bedingungen angenommen, und worauf wird das dann von $D$ abgebildet?
So arbeitest du dich dann dadurch.
Eventuell auch einfach mal ein paar Testeinsetzungen machen, um ein Gefühl für die Abbildung zu bekommen.
Was ist etwa $D^3(0.5)$, oder $D^3(0.2)$?
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hula123
Junior
Dabei seit: 10.11.2020
Mitteilungen: 16
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-25
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Hatte noch was vergessen: Abbildung wird im Intervall D : [0; 1) -> [0; 1) betrachtet.
D³(0,5) = 4
D³(0,2) = 1,6
(Glaube ich)
Ich poste hier mal ein Ergebnis für D²(x) die mir vorliegt.
D²(x) = 4x für 0 ≤ x < 1/4
4x-1 für 1/4 ≤ x < 1/2
4x-2 für 1/2 ≤ x < 3/4
4x-3 für 3/4 ≤ x < 1
Aber wie man darauf gekommen ist..
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StrgAltEntf
Senior
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| Beitrag No.6, eingetragen 2021-11-25
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\quoteon(2021-11-25 22:56 - hula123 in Beitrag No. 5)
D³(0,5) = 4
D³(0,2) = 1,6
(Glaube ich)
\quoteoff
Das kann gar nicht sein. Es müssen Werte < 1 rauskommen.
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hula123
Junior
Dabei seit: 10.11.2020
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-25
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Ja, wie gesagt, ich trete da leider auf der Stelle.
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8197
Wohnort: Milchstraße
| Beitrag No.8, eingetragen 2021-11-25
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\quoteon(2021-11-25 23:35 - hula123 in Beitrag No. 7)
Ja, wie gesagt, ich trete da leider auf der Stelle.
\quoteoff
D³(0,5) = D²(D(0,5)) = D(D(D(0,5)))
Das solltest du berechnen können.
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hula123
Junior
Dabei seit: 10.11.2020
Mitteilungen: 16
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-26
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Nett von dir, dass du versuchst, das heraus zu kitzeln, aber mein Kopf raucht von diesen ständigen Mathe HA. An irgendwas fehlts mir gerade, sonst lassen wirs eben gut sein.
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LetsLearnTogether
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| Beitrag No.10, eingetragen 2021-11-26
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Ich denke, dass das Problem daher kommt, dass du diese Schreibweise nicht lesen kannst, oder?
Ich will es dir mal vormachen.
Also wir haben ja:
\(D:[0,1)\to[0,1)\) mit
$$D(x) = \begin{cases}
2x & \text{für }0\leq x < \frac12 \\
2x-1 & \text{für }\frac12\leq x < 1
\end{cases}$$
Fragen wir uns also Beispielhaft was $D^3(0.25)$ ist.
Dazu ist $D(D(D(0.25)))$ zu berechnen.
Machen wir es schrittweise.
Erstmal sollten wir in der Lage sein $D(0.25)$ auszuwerten.
Dazu müssen wir jetzt gucken worauf 0.25 unter der Funktion abgebildet wird, also in die Definition über Fallunterscheidung reinschauen.
Diese sagt uns, dass wenn $0\leq x<\frac12$ ist, wir auf $2x$ abbilden.
Da $0.25$ dies erfüllt, ist also $D(0.25)=2\cdot 0.25=0.5$
Was ist nun $D(D(0.25))=D(0.5)$?
Wieder müssen wir in die Fallunterscheidung schauen.
Sind wir in dem Fall $0\leq x<\frac12$?
Nein, denn es ist ja gerade $x=\frac12$.
Also müssen wir $0.5$ jetzt auf $2\cdot 0.5-1=0$ schicken.
Es ist also $D(0.5)=0$.
Damit ist $D^3(0.25)=D(D(D(0.25)))=D(D(0.5))=D(0)=0$.
Denn um $D(0)$ zu bestimmen, schauen wir ein letztes mal nach, in welchem Fall wir sind, und sehen, dass $0$ auf $2\cdot 0=0$ abgebildet wird.
Kannst du mir jetzt sagen, was $D^3(0.2)$ ist, oder $D^3(0.6)$?
Bevor du dich "symbolisch" an diese Aufgabe machst, solltest du natürlich in der Lage sein konkret an Beispielen diese Dinge auswerten zu können, sonst hat es ja keinen Zweck.
Ist diese Schreibweise mit der Fallunterscheidung erstmal durchdrungen, kannst du wohlmöglich auch diese Aufgabe eigenständig lösen.
Edit: Fehler behoben.
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StrgAltEntf
Senior 
Dabei seit: 19.01.2013
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Wohnort: Milchstraße
| Beitrag No.11, eingetragen 2021-11-26
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\quoteon(2021-11-26 00:00 - hula123 in Beitrag No. 9)
Nett von dir, dass du versuchst, das heraus zu kitzeln, aber mein Kopf raucht von diesen ständigen Mathe HA. An irgendwas fehlts mir gerade, sonst lassen wirs eben gut sein.
\quoteoff
Ach komm!
Berechne zuerst x := D(0,5).
Berechne dann D(x). Das ist dann y := D(x) = D(D(0,5))
Berechne schließlich D(y). Das ist dann D(D(D(0,5)))
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]
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hula123
Junior
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-28
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Danke erstmal für eure Antworten!
LetsLearnTogether, das habe ich jetzt soweit verstanden, danke. Allerdings komme ich noch nicht wirklich dahinter, wie man bei der Lsg. darauf gekommen ist, das Intervall in genau 4 Teile zu teilen. Wie würde das denn aussehen, wenn es statt 2x und 2x-1 3x und 3x-1 hieße? Also warum und vor allem wie kommt man darauf, dass Intervall in 4 bei d^2 und 8 in d^3 zu teilen bei den gegebenen Vorschriften?
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LetsLearnTogether
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Dabei seit: 27.06.2021
Mitteilungen: 134
| Beitrag No.13, eingetragen 2021-11-28
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\quoteon
wie man bei der Lsg. darauf gekommen ist, das Intervall in genau 4 Teile zu teilen
\quoteoff
Das ergibt sich eigentlich automatisch aus der angegebenen Definition.
Ich möchte das jetzt nicht im Detail ausführen, weil das relativ unangenehm zum Aufschreiben ist.
Plausibel machen kannst du es dir eventuell so:
Nach der ersten Anwendung von $D$ auf ein Element $x$ sind wir in einem der beiden Fälle. Also haben zwei Möglichkeiten.
Wenn wir jetzt $D$ nochmal anwenden, also $D^2(x)$ bestimmen, dann können wir ja wieder auf jeden dieser zwei Möglichkeiten, wieder in den unterschiedlichen Fällen landen, also vier Möglichkeiten.
Für $D^3$ dann entsprechend acht.
Es ist also eventuell plausibel, dass das Ergebnis so aussieht.
Man muss es aber natürlich beweisen. Das heißt hier nachrechnen.
Das ist eher eine Fleißaufgabe.
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