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  Extremwerte berechnen mit Funktion für Kugel? |
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erdbaer42
Neu 
Dabei seit: 26.11.2021
Mitteilungen: 1
 |  Themenstart: 2021-11-26
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Guten Tag, wie würdet ihr die Aufgabe lösen? Ich hab mit Extremwertaufgaben ganz starke Probleme und weiß nicht wie ich auf das Ergebnis kommen kann.
In einem in kartesischen Koordinaten (x, y, z) vorliegenden dreidimensionalen Hologramm wird durch die Einheitskugel B = ⟨(x, y, z) ∈ \IR^3 : x^2+y^2+z^2<=1 ⟩
ein im Koordinatenursprung zentrierter georteter Himmelskörper dargestellt. Eine weitere Analyse ergibt, dass die an einem Punkt (x, y, z) ∈ B vorliegende (skalierte) Konzentration eines auf der Erde selten vorkommenden und daher gefragten Erzes durch die Funktion f : B → R mit f(x, y, z) = exp( x^2-y^2+z^2 ) gut beschrieben wird.
Bestimmen Sie, an welchen Punkten von B die Konzentration des Erzes am höchsten bzw. am niedrigsten ist. Wo lohnt sich demnach der Abbau besonders?
Vielen Dank schonmal.
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10496
Wohnort: Rosenfeld, BW
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-26
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo und willkommen hier im Forum!
Der Ansatz ist hier der, dass man die Funktion
\[f(x,y,x)=e^{x^2-y^2+z^2}\]
auf Extrema untersucht.
Das macht man ersteinmal wie gewohnt. Findet man solche Extrema, dann prüft man, ob sie im Inneren der Kugel liegen (oder zufällig auf dem Rand).
Solche Extrema, die nicht in oder auf dem Rand der Kugel liegen, lässt man unter den Tisch fallen.
Und jetzt kommt die Einheitskugel ins Spiel. Da du in ihrem Inneren aber schon nach Extrema gesucht hast, musst du nur noch ihren Rand betrachten. Und hast damit mit \(x^2+y^2+z^2=1\) eine schöne Nebenbedingung. Unter dieser Bedingung suchst du jetzt (etwa per Lagrange-Multiplikator) nach weiteren Extrema.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Mehrdim. Differentialrechnung' von Diophant]\(\endgroup\)
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4402
 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-11-26
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\quoteon(2021-11-26 13:58 - Diophant in Beitrag No. 1)
Das macht man ersteinmal wie gewohnt.
\quoteoff
Hier sollte man wirklich nicht ohne nachzudenken nach "Schema F" vorgehen.
Da $t\mapsto\exp(t)$ streng monoton ist, ist $\exp(x^2-y^2+z^2)$ genau dann maximal, wenn es $x^2-y^2+z^2$ ist. Und da man diesen Ausdruck auch als $r^2-2y^2$ mit dem Radius $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ schreiben kann, ist mit einem Blick zu erkennen, wo die Maxima liegen.
--zippy
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10496
Wohnort: Rosenfeld, BW
|  Beitrag No.3, eingetragen 2021-11-26
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
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\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
@zippy:
\quoteon(2021-11-26 14:17 - zippy in Beitrag No. 2)
Hier sollte man wirklich nicht ohne nachzudenken nach "Schema F" vorgehen.
Da $t\mapsto\exp(t)$ streng monoton ist, ist $\exp(x^2-y^2+z^2)$ genau dann maximal, wenn es $x^2-y^2+z^2$ ist. Und da man diesen Ausdruck auch als $r^2-2y^2$ mit dem Radius $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ schreiben kann, ist mit einem Blick zu erkennen, wo die Maxima liegen.
\quoteoff
Das stimmt natürlich und bringt eine wesentliche Vereinfachung (da man sich gleich auf den Teil mit der Nebenbedingung stürzen kann).
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9674
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.4, eingetragen 2021-11-26
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Wenn jemand "mit starken Problemen" daherkommt, würde ich immer zuerst nach "Schema F" rechnen lassen und danach überlegen, ob es nicht einfacher geht.
Hier ist es ja die erste Teilaufgabe, zunächst mal den Typ des Problems zu ermitteln, nämlich ein gemischtes Problem, wo man mit verschiedenen Methoden das Innere und die Randfläche untersuchen muss.
Das alleine ist für viele schon schwierig.
Viele Grüße
Wally
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4402
| Beitrag No.5, eingetragen 2021-11-26
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\quoteon(2021-11-26 14:25 - Diophant in Beitrag No. 3)
(da man sich gleich auf den Teil mit der Nebenbedingung stürzen kann).
\quoteoff
Was sollte man in diesem Teil denn noch machen? Es gibt doch rein gar nicht mehr zu tun.
\quoteon(2021-11-26 14:54 - Wally in Beitrag No. 4)
Wenn jemand "mit starken Problemen" daherkommt, würde ich immer zuerst nach "Schema F" rechnen lassen und danach überlegen, ob es nicht einfacher geht.
\quoteoff
Da würde ich nur zustimmen, wenn wir hier im Bereich der Schulmathematik wären.
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Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9674
Wohnort: Dortmund, Old Europe
| Beitrag No.6, eingetragen 2021-11-26
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Vielleicht liegt es daran, dass ich die letzten 40 Jahre Mathematik für Nebenfächler gemacht habe - da ist man vielleicht zwischen den Welten.
Wally
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4402
| Beitrag No.7, eingetragen 2021-11-26
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\quoteon(2021-11-26 15:39 - Wally in Beitrag No. 6)
Vielleicht liegt es daran, dass ich die letzten 40 Jahre Mathematik für Nebenfächler gemacht habe - da ist man vielleicht zwischen den Welten.
\quoteoff
Da muss ich zustimmen, zwischen Nebenfächlern und Schule gibt es keinen Unterschied 😁
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