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Analysis » Folgen und Reihen » Wurzel berechnen
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Universität/Hochschule J Wurzel berechnen
Connor
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  Themenstart: 2021-11-26

Hallo an alle, ich habe folgndes Problem: Ihr kennt sicher alle die Fibonaccifolge f_n. Auf Wikipedia steht das f_n+1/f_n für n gegen unendlich gegen (1+sqrt(5))/2 konvergiert. Somit kann man mithilfe der Fibonaccifolge die Wurzel aus 5 berechnen. Darüber hinaus gibt es auch die verallgemeinerte Fibonacifolge, diese sieht folgendermaßen aus: f_0 = x, f_1= y, f_n+1 = a*f_n+b*f_n-1, für beliebige natürliche Zahlen x,y,a,b. Nun ist die Aufgabe die verallgemeinerte Fibonaccifolge zu nutzen um die Wurzel jeder beliebigen natürlichen Zahl zu berechnen. Nur leider steht nirgendwo im Netz was denn der Grenzwert von f_n+1/f_n ist, für die verallgemeinerte Fibonaccifolge. Komme auch nicht drauf wie ich den Grenzwert bestimmen könnte. Danke, schöne grüße!


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-26

Schau dir an, wie man die Binetsche Darstellung der Fibonaccizahlen herleiten und daraus auf den Grenzwert $\lim_{n\to\infty}f_{n+1}/f_n$ schließen kann. Dieses Verfahren funktioniert auch für deine verallgemeinerte Fibonaccifolge. Du musst dann auch gar nicht sämtliche verallgemeinerte Fibonaccifolgen betrachten, sondern nur soviele, dass du $\sqrt k$ für jede natürliche Zahl $k$ berechnen kannst. Dafür reicht es aus, einen der vier Parameter $x$, $y$, $a$ und $b$ zu variieren und die restlichen entweder festzulassen oder als Funktion des variierten zu wählen. Aus diesem Grunde kann man sich insbesondere die Einarbeitung der Anfangswerte $x$ und $y$ in die Binet-artige Darstellung ersparen. --zippy


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Connor
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-27

Danke, habe damit das Problem lösen können :)


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