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Universität/Hochschule Ringe
Erdbeere99
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  Themenstart: 2021-11-27

\quoteon(ursprünglicher Beitrag) Gegeben sei (R,$*$,+) ein Ring. (i) Beweise: Für jeder z in Z (ganze Zahlen) und jedes in R gilt: za = (z$1_R$)a ($1_R$ ist das neutrale Element der Multiplikation) ii) Beweise: Wenn R endlich ist, so ist char(R) ungleich 0. Insbesondere ist die Charakteristik eines endlichen Körpers immer eine Primzahl. Habt ihr Ideen wie ich diese beiden Aussagen beweisen kann? \quoteoff


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Akura
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\bN}{\mathbb{N}} \newcommand{\bZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\bQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\bR}{\mathbb{R}} \newcommand{\bC}{\mathbb{C}} \) Hey! 👋 Am best einmal die Definitionen hinschreiben: (i) Wie habt ihr denn $za$ für $z\in\bZ$ und $a\in R$ (was es vermutlich sein soll?) definiert? (ii) Wie habt ihr denn die Charakteristik eines Rings definiert?\(\endgroup\)


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Erdbeere99
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-27

\quoteon(2021-11-27 15:37 - Akura in Beitrag No. 1) (i) Wie habt ihr denn $za$ für $z\in\bZ$ und $a\in R$ (was es vermutlich sein soll?) definiert? (ii) Wie habt ihr denn die Charakteristik eines Rings definiert? \quoteoff (i) (R, +) ist eine abelsche Gruppe. Somit ist a+a+a...+a = za. Damit existieren zwei unterschiedliche Arten von „Multiplikation”: Multiplikation in R und Multiplikation einer ganzen Zahl mit einem Element von R. (ii) Sei R ein Ring und sei M := {n in N: n $1_$R = $0_R$}. Ist M nicht leer, so sei char(R) das kleinste Element von M. Ist M leer, so setze char(R) := 0. Man nennt char(R) die Charakteristik von R.


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Akura
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-11-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\bN}{\mathbb{N}} \newcommand{\bZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\bQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\bR}{\mathbb{R}} \newcommand{\bC}{\mathbb{C}} \) Gut, und jetzt damit arbeiten! Bei (i) geht's also darum, zu zeigen, dass $\underbrace{a+\cdots+ a}_{z\text{-mal}} = (\underbrace{1_R+\cdots+ 1_R}_{z\text{-mal}})\cdot a$ ist. Und dafür am besten einfach die Definition eines Rings verwenden. Für (ii): Wenn $R$ endlich ist, kannst du eine obere Schranke für die Charakteristik angeben? (Tipp: $(R,+)$ ist eine Gruppe.)\(\endgroup\)


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