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Mathematik » Stochastik und Statistik » Delta-Methode
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Universität/Hochschule J Delta-Methode
GaussGauss
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  Themenstart: 2021-11-27

Hi! Kann mir wer sagen warum/was bei der Delta-Methode bei der Exponentialverteilung schiefgeht? Sei $X_n$ eine i.i.d Folge von exponentialverteilten Zufallsvariablen mit Parameter $\lambda$. Es gilt ja $\sqrt(n) \frac{\overline{X_n}-\mu}{\sigma} = \sqrt(n) \frac{\overline{X_n}-\frac{1}{\lambda}}{\frac{1}{\lambda}} \to \mathcal{N}(0,1)$ in Verteilung bei $n\to\infty$ nach CLT. Nach der Delta-Methode gilt dann ja für ein differenzierbares $\phi$, dass $\sqrt(n) (\phi(\overline{X_n})-\phi(\frac{1}{\lambda})) \to Z\sim\mathcal{N}(0,\frac{1}{\lambda^2}\phi'(\lambda)^2)$. Dann bestimmt man ja $\phi$ so, dass $\frac{1}{\lambda^2}\phi'(\lambda)^2 = 1$ ist, also $\phi'(\lambda) = \lambda$ und somit $\phi(\lambda) = \frac{\lambda^2}{2}$. Somit also insgesamt $\sqrt(n)/2((\overline{X_n})^2 - \frac{1}{\lambda^2}) \to \mathcal{N}(0,1)$ - aber das stimmt nicht, dies sieht man mittels Simulationen schnell. Die Frage ist also, wo geht was schief bei der Delta-Methode? Ich dacht, dass die fehlende Differenzierbarkeit von $\phi(1/\lambda)$ in der 0 schiefgeht aber es gilt ja stets $\lambda>0$. Was ich dann aber noch weniger verstehe - ich hatte mich zuerst verrechnet und $\phi(\lambda) = \log(\lambda)$ herausbekommen und tatsächlich konvergiert auch $\sqrt(n)(\log(\overline{X_n})-\log(1/\lambda))$ gegen eine standardnormalverteilte ZV bei $n\to\infty$! Ich hoffe, dass mir jemand meine Verwirrung nehmen kann! Danke vorab und Grüße


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sonnenschein96
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-27

Hallo GaussGauss, ich kenne mich mit der Delta-Methode nicht aus, aber wenn ich mir das hier anschaue, dann sollte es denke ich \[\sqrt{n}(\phi(\overline{X_n})-\phi(\mu))\overset{\mathcal{D}}{\to}\mathcal{N}(0,\sigma^2\phi'(\mu)^2)\] und damit \[\sqrt{n}\left(\phi(\overline{X_n})-\phi\left(\frac{1}{\lambda}\right)\right)\overset{\mathcal{D}}{\to}\mathcal{N}\left(0,\frac{1}{\lambda^2}\phi'\left(\frac{1}{\lambda}\right)^2\right)\] heißen. Mit \(\phi(x)=\log(x)\) ist \(\phi'(\frac{1}{\lambda})=\lambda\) und damit \(\frac{1}{\lambda^2}\phi'(\frac{1}{\lambda})^2=1\), also \[\sqrt{n}\left(\log(\overline{X_n})-\log\left(\frac{1}{\lambda}\right)\right)\overset{\mathcal{D}}{\to}\mathcal{N}\left(0,1\right).\] Mit \(\phi(x)=\frac{x^2}{2}\) hingegen ist \(\phi'(\frac{1}{\lambda})=\frac{1}{\lambda}\) und damit \(\frac{1}{\lambda^2}\phi'(\frac{1}{\lambda})^2=\frac{1}{\lambda^4}\), also \[\frac{\sqrt{n}}{2}\left((\overline{X_n})^2-\frac{1}{\lambda^2}\right)\overset{\mathcal{D}}{\to}\mathcal{N}\left(0,\frac{1}{\lambda^4}\right).\]


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GaussGauss
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-27

Hi sonnenschein96, Oh Mann...ich danke dir, da hab ich wiedermal nicht genau genug geschaut...ist klar, danke nochmals! Schönen Abend


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