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Analysis » Folgen und Reihen » Differenzengleichung
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Universität/Hochschule Differenzengleichung
julian2000P
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  Themenstart: 2021-11-27

Hallo zusammen, ich habe Probleme mit einer Differenzengleichung. Für $E_0, E_1$ und $M > 0$ habe ich folgende Differenzengleichung: $E_{n+1} = M E_n E_{n-1}$. Jetzt soll ich laut meinem Hinweis den Ansatz $E_{n+1} = C E_n^p$ probieren. Einerseits gilt \[ E_{n+1} = C E_n^p = C^{p+1}E_{n-1}^{p^2} \] andererseits \[ E_{n+1} = M E_n E_{n-1} = MCE_{n-1}^{p+1} \] Wenn ich das gleichsetze, dann habe ich \[ \begin{align*} MCE_{n-1}^{p+1} &= C^{p+1}E_{n-1}^{p^2} \\ ME_{n-1}^{p+1} &= C^pE_{n-1}^{p^2} \\ \end{align*} \] Dann muss ja $p^2 = p + 1$ gelten und $C = M^{1/p}$, für p bekomme ich da ja den goldenen Schnitt. Da geht es eigentlich um das Sekantenverfahren und ich habe diese Rechnung auch genau hier https://wwwcip.informatik.uni-erlangen.de/~yq53ykyr/AlgoKS/extra/lec10/EinfNum1_Kraeutle_Chap34.pdf auf Seite 54 gefunden. Und wenn ich nun für die Anfangswerte zum Beispiel $E_0 = 1, E_2 = 2$ und $M = 1$ habe, dann scheint die Rechnung oben eigentlich nicht aufzugehen. Wo ist der Fehler? Grüße


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Wauzi
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-27

Hallo, E_(n+1)=C*E_n^p E_n=C*E_(n-1)^p => E_(n-1)=(E_n/C)^(1/p) E_(n+1)=M*E_n*E_(n-1)=M*C*E_n^p*(E_n/C)^(1/p)=M*C^(1-1/p)*E_n^(1+1/p) =>C^(1-1/p)=1/M*E_(n+1)/E_n^(p/(p+1)) Mit den Anfangswerten von E ergibt sich C. Der Rest müßte dann passen. Gruß Wauzi


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Bozzo
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-11-27

Dein Ansatz scheint nicht alle moeglichen Loesungen abzudecken, sondern nur solche, fuer die auch E1 = CE0p gilt.


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-11-27

\quoteon(2021-11-27 17:04 - julian2000P im Themenstart) Für $E_0, E_1$ und $M > 0$ habe ich folgende Differenzengleichung: $E_{n+1} = M E_n E_{n-1}$. \quoteoff Wegen $M>0$ ist diese Gleichung äquivalent zu $ME_{n+1} = ME_n\cdot ME_{n-1}$, und für $x_n:=\log(ME_n)$ erhält man die Fibonacci-Rekursionsgleichung $x_{n+1}=x_n+x_{n-1}$. Da das charakteristische Polynom dieser Gleichung quadratisch ist, kann der Ansatz $E_{n+1}=CE_n^p$ nur für bestimmte Anfangswerte funktionieren. Um zu sehen, wie die allgemeine Lösung aussieht, kann man sich die Binetsche Darstellung der Fibonacci-Zahlen anschauen. --zippy


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julian2000P
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-27

Hallo zusammen, zunächst einmal vielen Dank an alle die geantwortet haben. Mit dem Ansatz über die Fibonacci Folge habe ich nun folgendes: $E_n = \frac{1}{M}e^{x_n}$ und damit (p sei der goldene Schnitt) \[ \begin{align*} E_{n+1} &= E_n^p E_{n+1} E_n^{-p} \\ &= E_n^p M^{p-1} e^{\tfrac{x_{n+1}}{x_n} - px_n} \end{align*} \] Ich glaube mir wäre schon geholfen wenn ich den Term $e^{\tfrac{x_{n+1}}{x_n} - px_n}$ zumindest unabhängig von $n$ abschätzen könnte. Ich weiß, dass $\tfrac{x_{n+1}}{x_n} \to p$, aber auch, dass $x_n \to - \infty$ (da $E_n$ bei mir klein ist). Ich kann also nicht so einfach mit dem Limes darauf losgehen. Kann ich diesen Term vielleicht trotzdem irgendwie abschätzen? Wenn er konvergent wäre, wäre das natürlich gegeben.


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