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Strukturen und Algebra » Ringe » maximal und Primideal
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Universität/Hochschule J maximal und Primideal
juergenX
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  Themenstart: 2021-11-27

Irgndwo stand das alle Maximalideale auch Primideale sind jedenfalls in Hauptidealringem, also wo alle Ideale von einem Element erzeugt werden, ist (p) maximal und prim. Jetzt suche ich ein Beispiel, dass ein Maximalideal, aber kein Primideal ist. Gibt es so was ? Bsp.: $x =1+\sqrt{-5}$ ist nicht prim in $Z$, analog der Primzahldefinition in Ringen. $I = (x)$ ist daher kein Primideal. Stimmt der Schluss? Frage : Ist $(I)= (1+\sqrt{-5})$ kein Primideal aber Maximal? Maximal heisst es gibt kein größeres Ideal (J) als $I=(1+\sqrt{-5})$. Dann waere (I) maximal.. Denn es gibt kein $(J)\in Z(1+\sqrt{-5})$, was mehr Elemente hat als (I). Wie sollte das auch aussehen? Ist das so richtig formuliert? Danke


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LetsLearnTogether
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-27

Hallo, nein, jedes maximale Ideal ist auch ein Primideal. Ein Ideal $I$ in einem Ring $R$ ist ja genau dann maximal, wenn R/I ein Körper ist. Und Prim, wenn R/I ein Integritätsbereich ist. Jeder Körper ist ein Integritätsbereich, also sind maximale Ideale auch Primideale. Diese Aussage ist dir doch bekannt, oder? Du kannst es aber natürlich auch anders beweisen.


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juergenX
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-27

\quoteon(2021-11-27 20:36 - LetsLearnTogether in Beitrag No. 1) Hallo, nein, jedes maximale Ideal ist auch ein Primideal. Ein Ideal $I$ in einem Ring $R$ ist ja genau dann maximal, wenn R/I ein Körper ist. Und Prim, wenn R/I ein Integritätsbereich ist. Jeder Körper ist ein Integritätsbereich, also sind maximale Ideale auch Primideale. Diese Aussage ist dir doch bekannt, oder? Du kannst es aber natürlich auch anders beweisen. \quoteoff Ja ich wollte es an eine Zahlenbeispiel festmachen... Ob $Z/(1+\sqrt{-5})$ ein Integritaetsbereich oder Koerper ist, ist nicht so leicht zu sehen.. aus https://de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchiv:_Algebra:_K%C3%B6rper:_Endlicher_Integrit%C3%A4tsbereich Jeder endliche Integritätsbereich ist ein Körper. Ist mein Beispiel nun ein endlicher Integritätsbereich? Wie sehe ich das?


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DavidM
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-11-27

Hallo Jürgen, wenn du von dem Ideal $(1+\sqrt{-5})$ sprichst, musst du auf jeden Fall dazusagen, in welchem Ring du das betrachtest. Du schreibst da immer wieder von $\mathbb{Z}$, das funktioniert aber nicht, weil $1+\sqrt{-5}$ ja gar nicht in $\mathbb{Z}$ liegt. Was du natürlich machen kannst, ist das von $1+\sqrt{-5}$ erzeugte Ideal in $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ betrachten. Ist es das, was du willst? Das ist weder ein Primideal, noch maximal. Dass es nicht prim ist, ist relativ leicht zu sehen: Ich nenne das Ideal mal $I$. Dann ist $6=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}) \in I$, wenn $I$ ein Primideal wäre, müsste also $2$ oder $3$ in $I$ liegen, da kann man sich dann aber nachrechnen, dass das nicht der Fall ist. Um zu zeigen, dass $I$ nicht maximal ist, kann man das Ideal $J=(2,1+\sqrt{-5})$ betrachten. Das ist eine echte Obermenge von $I$, aber nicht der ganze Ring, also kann $I$ nicht maximal sein. Allegmein gilt, wie LetsLearnTogether schon geschrieben hat, dass jedes maximale Ideal ein Primideal ist, aber nicht umgekehrt. Gruß, David


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helmetzer
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-11-28

Warum einfach, wenn's auch kompliziert geht? \(R = \IZ[X]\) hat das Primideal \(XR\), welches nicht maximal ist.


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juergenX
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-28

\quoteon(2021-11-27 21:42 - DavidM in Beitrag No. 3) Hallo Jürgen, wenn du von dem Ideal $(1+\sqrt{-5})$ sprichst, musst du auf jeden Fall dazusagen, in welchem Ring du das betrachtest. Du schreibst da immer wieder von $\mathbb{Z}$, das funktioniert aber nicht, weil $1+\sqrt{-5}$ ja gar nicht in $\mathbb{Z}$ liegt. Was du natürlich machen kannst, ist das von $1+\sqrt{-5}$ erzeugte Ideal in $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ betrachten. Ist es das, was du willst? Das ist weder ein Primideal, noch maximal. Dass es nicht prim ist, ist relativ leicht zu sehen: Ich nenne das Ideal mal $I$. Dann ist $6=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}) \in I$, wenn $I$ ein Primideal wäre, müsste also $2$ oder $3$ in $I$ liegen, da kann man sich dann aber nachrechnen, dass das nicht der Fall ist. Um zu zeigen, dass $I$ nicht maximal ist, kann man das Ideal $J=(2,1+\sqrt{-5})$ betrachten. Das ist eine echte Obermenge von $I$, aber nicht der ganze Ring, also kann $I$ nicht maximal sein. Allegmein gilt, wie LetsLearnTogether schon geschrieben hat, dass jedes maximale Ideal ein Primideal ist, aber nicht umgekehrt. Gruß, David \quoteoff Ja letzter Satz war bekannt, Ich wollte ein Primideal das kein maximalideal ist was in Z angeblich nicht geht.(eindimensional?) Es gibt kein groesseres als (2) in $Z$ also (2) maximal also prim. Was ist aber mit $I=(2,3) \supset (2), \forall n,m \in Z, I =2n+3m$? Ist $J=(2,1+\sqrt{-5})$ zu verstehen als $n*2 + m*(1+\sqrt{-5}) \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$? mit $\in$ meinte ich hier Unterring.


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endy
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-11-28

@ Nr.5: In $\mathbb{Z}$ ist jedes Primideal ausser dem Nullideal maximal.Daher hat $\mathbb{Z}$ Krulldimension 1. endy


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juergenX
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-28

\quoteon(2021-11-28 19:48 - endy in Beitrag No. 6) @ Nr.5: In $\mathbb{Z}$ ist jedes Primideal ausser dem Nullideal maximal.Daher hat $\mathbb{Z}$ Krulldimension 1. endy \quoteoff Ja. so was wie (p,q) in Z ist ja nicht sinnig,weil ggt(p,q)=1. Und (4,6)=(2). David brachte ja auch ein Beispiel wo ein Primideal kein Maximalideal ist. Er erweiterte es einfach. Was in Haupidealringen nicht geht. Thx


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DavidM
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-11-28

\quoteon(2021-11-28 19:24 - juergenX in Beitrag No. 5) Ja letzter Satz war bekannt, Ich wollte ein Primideal das kein maximalideal ist was in Z angeblich nicht geht.(eindimensional?) \quoteoff Es geht schon, wie endy ja auch schon geschrieben hat: $(0)$ ist in $\mathbb{Z}$ ein Primideal, aber nicht maximal. Das ist in diesem Ring, wie in jedem Hauptidealring, aber auch das einzige solche Beispiel \quoteon Es gibt kein groesseres als (2) in $Z$ also (2) maximal also prim. Was ist aber mit $I=(2,3) \supset (2), \forall n,m \in Z, I =2n+3m$? \quoteoff $(2,3)=(1)=\mathbb{Z}$, weil $1=(-1) \cdot 2 + 1 \cdot 3 \in (2,3)$ ist. \quoteon Ist $J=(2,1+\sqrt{-5})$ zu verstehen als $n*2 + m*(1+\sqrt{-5}) \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$? mit $\in$ meinte ich hier Unterring. \quoteoff Ja genau, $(2,1+\sqrt{-5})=\{ 2 \cdot n + (1+\sqrt{-5}) \cdot m | m,n \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \}$.


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