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Analysis » Maßtheorie » Zeigen, dass Menge Borel-Menge ist
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Universität/Hochschule Zeigen, dass Menge Borel-Menge ist
anelka
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 16.11.2021
Mitteilungen: 7
  Themenstart: 2021-11-28

Hallo, ich probiere gerade zu zeigen, dass folgende Menge eine Borel-Menge ist: Wir haben eine messbare und intbare Funktion \(g(x):[a,b]\rightarrow [0,\infty[\) \(B=\{(x,y)\in[a,b]\times\mathbb{R}|0\leq y\leq g(x)\}\) Meine Idee, bzw. Versuche waren es \(B\) durch abzählbare Vereinigung oder Komplementen aus offenen Mengen darzustellen. Aber irgendwie komme ich damit nicht weit. Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte LG Anelka

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anelka
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 16.11.2021
Mitteilungen: 7
  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-28

Achso, hier noch mein bisheriger Ansatz: Sei \(x\in [a,b]\) fest. Dann erhalten wir die Menge \(B_x\) \(B_x=\{y\in[0,\infty[|(x,y)\in B\}\) Dann erhalten wir \(B_x=[0,g(x)]\). Da die Borel-\(\sigma\)-Algebra Komplementstabil ist, können wir auch \({B_x}^C\) betrachten. \({B_x}^C=]-\infty,0[\text{ }\cup\text{ }]g(x),\infty[\) Wir erhalten nun daraus: \(B^C=\bigcup\limits_{x=0}^{\infty}]-\infty,0[\text{ }\cup\text{ }]g(x),\infty[=\bigcup\limits_{k=0}^{\infty}(\bigcup\limits_{x=0}^{\infty}]--k,0[\text{ }\cup\text{ }]g(x),g(x)+k[)\)

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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 5016
  Beitrag No.2, eingetragen 2021-11-28

Du könntest auch nacheinander zeigen, dass die folgenden auf $[a,b]\times[0,\infty)$ definierten Funktionen messbar sind: 1. $(x,y)\mapsto g(x)$ 2. $(x,y)\mapsto y$ 3. $(x,y)\mapsto\bigl(g(x),y\bigr)$ 4. $(x,y)\mapsto g(x)-y$ $B$ ist dann als Urbild von $[0,\infty)$ unter der 4. Funktion messbar. --zippy

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