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Universität/Hochschule J Berechnung eines Integrals über Untermannigfaltigkeit
Strandkorb
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  Themenstart: 2021-11-28

Hallo Zusammen Ich habe das folgende Problem: >Berechnen Sie das Integral $\int_M f(x)dS(x)$, wobei $f(x,y)=xy$ und M der Rand des Dreiecks mit den Eckpunkten $(0,0),(1,2),(2,1)$ ist. In der Vorlesung haben wir die Definition eines Integrals über eine Mannigfaltigkeit benutzt, um ein solches Problem zu lösen. Dazu habe ich meine Menge M in $$M_1=\{1/2x|0\leq x\leq 2\}, M_2=\{-x+3|1\leq x\leq 2\}, M_3=\{2x|0\leq x\leq 1\}$$ aufgespießt, dann ist M eindeutig die disjunkte Vereinigung aller dieser $M_i$'s. Nun habe ich meine 3 Diagramme wie folgt definiert 1. $M_1$: $\phi_1(x)=(x,1/2 x),0\leq x\leq 2 $ 2. $M_2$: $\phi_2(x)=(x,-x+3), 1\leq x\leq 2$ 3. $M_3$: $\phi_3(x)=(x,2x), 0\leq x\leq 1$ Nun habe ich verwendet, dass $$\int_M f(x)dS(x)=\sum_{i=1}^3 \int_{M_i}f(\phi_i(t)\cdot \sqrt{g_{\phi_i} (t)}dt$$, wobei $g_{\phi_i}(t)$ die Determinante der Grammatrix ist. Aber dann bekomme ich irgendwie $$g_{\phi_1}=0.75. g_{\phi_2}=0, g_{\phi_3}=-3$$ Aber das funktioniert irgendwie nicht. Könnte mir jemand helfen, meinen Fehler zu finden? Es wäre schön, wenn wir es auf meine Art und Weise machen können, da dies die einzige Art und Weise ist, die wir in der Vorlesung hatten und somit die einzige, die wir in der Prüfung verwenden können. Vielen Dank schon mal.


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sonnenschein96
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-28

Hallo Strandkorb, \quoteon(2021-11-28 11:43 - Strandkorb im Themenstart) Dazu habe ich meine Menge M in $$M_1=\{1/2x|0\leq x\leq 2\}, M_2=\{-x+3|1\leq x\leq 2\}, M_3=\{2x|0\leq x\leq 1\}$$ aufgespießt, dann ist M eindeutig die disjunkte Vereinigung aller dieser $M_i$'s. \quoteoff Die von Dir angegebenen Mengen \(M_i\) sind Teilmengen von \(\mathbb{R}\), \(M\) ist eine Teilmenge von \(\mathbb{R}^2\). Du meinst wohl eher \(M_1=\{(x,\frac{x}{2})\,|\,0\leq x\leq2\}\) etc. Außerdem ist \(M\) nicht wirklich die disjunkte Vereinigung dieser drei Mengen, sondern nur bis auf eine Nullmenge (die Eckpunkte hast Du ja jeweils doppelt). \quoteon(2021-11-28 11:43 - Strandkorb im Themenstart) Nun habe ich verwendet, dass $$\int_M f(x)dS(x)=\sum_{i=1}^3 \int_{M_i}f(\phi_i(t)\cdot \sqrt{g_{\phi_i} (t)}dt$$, wobei $g_{\phi_i}(t)$ die Determinante der Grammatrix ist. \quoteoff Es müsste eher \[\int_M f(x)dS(x)=\sum_{i=1}^3 \int_{M_i}f(x)dS(x)=\sum_{i=1}^3 \int_{\phi_i^{-1}(M_i)}f(\phi_i(t))\cdot \sqrt{g_{\phi_i} (t)}dt\] heißen. \quoteon(2021-11-28 11:43 - Strandkorb im Themenstart) Aber dann bekomme ich irgendwie $$g_{\phi_1}=0.75. g_{\phi_2}=0, g_{\phi_3}=-3$$ \quoteoff Ja, das ist sicherlich falsch. Was hast Du denn gerechnet?


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Strandkorb
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-28

Hallo vielen Dank für die Antwort. Ja natürlich, die Mengen habe ich falsch aufgestellt, aber ja ich meinte genau das was du notiert hast. Nun zur Formel ah ja das habe ich total übersehen, da muss wirklich das urbild stehen. Also ich glaube ich habe meine Fehler gefunden in der Berechnung der gram determinante. Kann es ein dass $$\sqrt{g_{\phi_1}}=\frac{\sqrt{5}}{4}, \sqrt{g_{\phi_2}}=\sqrt{2}, \sqrt{g_{\phi_3}}=\sqrt{5}$$? Nun ist auch $$\phi^{-1}(M_1)=[0,2], \phi^{-1}(M_2)=[1,2]. \phi^{-1}(M_3)=[0,1]$$ oder nicht?


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sonnenschein96
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-11-28

Es sollte dann aber wohl \(\sqrt{g_{\phi_1}}=\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}\) sein.


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-28

ah ja genau. Stimmt dann aber der rest also meine Urbilder und alles? kann ichs dann genau so weiterrechnen?


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sonnenschein96
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-11-28

Ja, ich denke der Rest passt so.


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Strandkorb
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-28

ah okei super vielen Dank! Dürfte ich dich echt nochmals etwas fragen, denn du scheinst es zu verstehen. Bei dieser aufgabe die ich gestellt habe, war es eigentlich ziemlich klar wie man $M$ aufteilen muss um dann zu Integrieren. Doch was ist wenn meine Menge so aussieht: $$ M=\{(x,y,z): z=xy, x^2+y^2\leq 1\}$$ Gibt es hier einen Tipp wie ich anfangen soll, denn ich sehe gar nicht wie ich meine $M_i$'s definieren kann und dementsprechend auch nicht wie meine Karten zu definieren sind. Könntest du mir da einen Tipp geben wie man an solche aufgaben herangeht, bzw. wie ich hier meine $M_i$'s definieren könnte? Denn ich dachte mir, dass ich hier die Menge mit Polarkoordinaten umschreiben könnte, doch irgendwie klappt das nicht so wie ich das möchte.


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sonnenschein96
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-11-28

Ein allgemeines Vorgehen gibt es da wohl nicht. Wie wäre es hier denn einfach mit \[\phi\colon B_1(0)\to M,\phi(x,y):=(x,y,xy)\] (\(B_1(0)\) offene Kugel) oder in Polarkoordinaten \[\phi\colon(0,1)\times(0,2\pi)\to M, \phi(r,\varphi):=(r\cos{\varphi},r\sin{\varphi},r^2\cos{\varphi}\sin{\varphi})?\] Das parametrisiert \(M\) denke ich bis auf eine Nullmenge.


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Strandkorb
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-28

ah okei, was muss denn diese Parametrisierung für Eigenschaften haben, also muss M das Urbild unter dieser Parametrisierung sein oder wie? Und wann weiss ich wenn ich die Menge $M$ aufteilen muss und wann nicht? Denn hier hatte ich auch darüber nachgedacht.


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