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Mechanik » Theoretische Mechanik » Teilchen in einer Kugelschale
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Universität/Hochschule Teilchen in einer Kugelschale
Bdl
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  Themenstart: 2021-11-28

a) stellen sie die lagrangefunktion für ein Teilchen in einer kugelschale im Erdschwerefeld in einem geeigneten Koordinatensystem auf. Die kugelschale hat den Radius 1 und den Auslenkwinkel alpha. Geben sie an, welche Größen erhalten sind. b) stellen sie die bewegungsgleichungen auf. Berechnen sie die z-Komponente des drehimpulses in kugelkoordinaten und vergleichen sie mit ihrem bewegungsgleichungen. Ersetzen sie anschließend die phi punkt komponente in einer der bewegungsgleichungen mithilfe der generalisierten impulses p klein phi und begründen sie, warum dies die lösung der bewegungsgleichung erleichtert. c) stellen sie die lagrangefunktion für ein fadenpendel der länge l mit dem auslenkwinkel auf und vergleichen sie diese mit der in a) erhaltenen lagrangefunktion unter der kleinwinkelnährung. (Relation alpha*l = r) d) lösen sie mithilfe des lagrange formalismus den 2-dimensionalen harmonischen oszillator und vergleichen sie die bewegung qualitativ mit ihrem teilchen in der kugelschale. Mir fällt keine Ansätze ein, wie ich vorgehen soll :(


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rlk
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-29

Hallo Bdl, herzlich willkommen auf dem Matheplaneten? In der Aufgabe sind einige Hinweise, mit denen Du einen Ansatz finden kannst. Betrachten wir die Frage a: woraus setzt sich die Lagrange-Funktion zusammen? Welche Symmetrie hat die Kugelschale und welche Koordinatensysteme bieten sich daher an? Ich hoffe, das bringt Dich auf Ideen, Roland


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Bdl
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-30

Also in a) müsste man L= T-V berechnen. Das habe ich in kugelkoordinaten gemacht und da kam L= 1/2 * m*R^2 (phi punkt^2 *sin^(teta) +teta phnkt^2) -mgRcos(teta) Mich verwirrt jetzt in der Aufgabenstellung den auslenkwinkel alpha. Bei b) weiß ich nicht recht wie ich die bewegungsgleichungen aufstellen soll


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rlk
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-12-02

Hallo Bdl, Deine Lagrange-Funktion sieht im Wesentlichen richtig aus, über das Vorzeichen des Terms für die potentielle Energie muss ich noch nachdenken. Welchen Wert hat der Winkel $\theta$, wenn sich das Teilchen in Ruhe befindet? Welchen der beiden Winkel würdest Du als Auslenkungswinkel bezeichnen? Zur Darstellung von Formeln gibt es hier mehrere Möglichkeiten, den Formeleditor Fed und eine Teilmenge das Satzsystems $\LaTeX$, damit sehe die Formeln so aus: Fed L= 1/2 * m*R^2 (\phi^*^2 *sin^2(\theta) +\theta^*^2) -mgR*cos(\theta) und $\LaTeX$ \[ L= \frac{1}{2} m \cdot R^2 (\dot{\varphi}^2 \cdot \sin^2(\theta) +\dot{\theta}^2) -mgR\cdot\cos(\theta) \] Wie kommt man von der Lagrange-Funktion zu den Bewegungsgleichungen? Servus, Roland


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Bdl
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-02

Wäre dann der auslenkungswinkel \alpha =\theta? Bei der bewegungsgleichungen habe ich folgendes raus: 1) 0= mR^2*\phi punkt^2cos(\theta)sin(\theta)+mRgsin(\theta)-mR^2\theta (die zweite Ableitung) 2) -\phi(zweite ableitung) *mR^2*sin^2(\theta) Beim drehimpuls, müsste ich da L= r(von der z-komponente) \cross\ z punkt *m berechnen? Und der generalisierte Impuls ist doch dL/(dphi punkt)und das müsste ich berechnen und in phi punkt einsetzten


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
rlk
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-12-05

Hallo Bdl, \quoteon(2021-12-02 14:15 - Bdl in Beitrag No. 4) Wäre dann der auslenkungswinkel \alpha =\theta? \quoteoff das ist eine Interpretation, allerdings finde ich es die Formulierung "Die Kugelschale hat den Radius 1 und den Auslenkwinkel alpha." etwas seltsam, denn der Auslenkwinkel ist ja keine Eigenschaft der Kugelschale. Außerdem würde ich für die Ruhelage einen Auslenkwinkel von 0 erwarten. Meine Frage zu dem Wert von $\theta$ hast Du noch nicht beantwortet. Deine Formatierung der Bewegungsgleichungen ist noch fehlerhaft. Den Punkt für die Zeitableitung erhältst Du mit \sourceon Fed \phi^* \sourceoff Meinst Du vielleicht \ \ll(1) 0= mR^2*\phi^*^2 cos(\theta)sin(\theta)+mRg*sin(\theta)-mR^2 \theta^** \ll(2) -\phi^** *mR^2*sin^2(\theta) bei der zweiten Gleichung fehlt das Gleichheitszeichen. Wenn Du etwas mehr von Deinem Rechenweg aufschreibst, lassen sich Fehler leichter finden. \quoteon(2021-12-02 14:15 - Bdl in Beitrag No. 4) \ Beim drehimpuls, müsste ich da L= r(von der z-komponente) \cross\ z^* *m berechnen? Und der generalisierte Impuls ist doch dL/(d\phi^*) und das müsste ich berechnen und in \phi^* einsetzten. \quoteoff Das Symbol $L$ ist bereits für die Lagrange-Funktion reserviert, daher solltest Du eine andere Bezeichnung für den Drehimpuls verwenden. Wie hängt dieser von den Koordinaten und Impulsen ab? Was meinst Du mit dem letzten Satz? Servus, Roland


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