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Universität/Hochschule J n-faches Lebesgue-Integral
marcletzgus
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  Themenstart: 2021-11-28

Guten Abend, ich habe Probleme bei folgender Aufgabe: Zeigen Sie für borelmeßbares $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow [0, \infty]$ die Gleichheit $\int f \; d \mathcal{L}^{n} = \int \ldots \int f(x_{1}, \ldots, x_{n})\;d\mathcal{L}^{1}(x_{1}) \ldots d \mathcal{L}^{1}(x_{n})$ Ich habe leider keine Ahnung, wie ich hier ansetzen soll... Ich habe die Definition des Lebesgue - Integrals: $\int f \; d \mathcal{L}^{n} := \sup \left \{ \int g\;d \mathcal{L}^{n} \; \vert \; 0 \le g \le f\; \text{ist einfach und}\; \mathcal{L}^{n}\; \text{- meßbar}\right \}$ Die scheint mir aber nicht wirklich nützlich zu sein, um damit arbeiten zu können. Hätte jemand einen Tipp, wie man anfangen könnte? Das wäre mega. Hier noch das Skript aus der Vorlesung, falls jemand nachlesen möchte: https://bit.ly/3lBR7NZ Ich erkenne einfach nicht, welcher Satz im Skript mich irgendwie weiterbringen könnte... Viele Grüße, euer Marc


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AnnaKath
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-29

Huhu Marc, hast Du Dir auch Satz 3.1. bzw. Proposition 3.1. angesehen? lg, AK


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marcletzgus
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-29

Hallo! Danke für die schnelle Antwort. Ich war gestern total verzweifelt, so dass ich den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr gesehen habe... Satz 3.1 und Proposition 3.1 helfen tatsächlich. Nach Proposition 3.1 gilt für jedes $1 \le j < n $ die Gleichheit $\mathcal{L}^{n} = \mathcal{L}^{j} \otimes \mathcal{L}^{n - j}$ Für $n = 2$ habe ich also $\mathcal{L}^{2} = \mathcal{L}^{1} \otimes \mathcal{L}^{1}$. Nach Satz 3.1 (Satz von Fubini) (3.4) gilt für zwei Maße $\mu_{i}$ auf $X_{i}$ $(i = 1,2)$, dass für eine meßbare Funktion $f: X_{1} \times X_{2} \rightarrow [0, \infty]$ mit $[f > 0]$ $\sigma$ - endlich bzgl. $\mu_{1} \otimes \mu_{2}$ gilt: $(x_{1} \mapsto f(x_{1}, x_{2})$ ist für $\mu_{2}$ - fast alle $x_{2} \in X_{2}$ meßbar bzgl. $\mu_{1}$, $(x_{2} \mapsto \int f(x_{1}, x_{2}) \mu_{1}(x_{1})$ ist meßbar bzgl. $\mu_{2}$ $(x_{2} \mapsto f(x_{1}, x_{2})$ ist für $\mu_{1}$ - fast alle $x_{1} \in X_{1}$ meßbar bzgl. $\mu_{2}$, $(x_{1} \mapsto \int f(x_{1}, x_{2}) \mu_{2}(x_{2})$ ist meßbar bzgl. $\mu_{1}$ Zusätzlich gilt noch $\int f\; d(\mu_{1} \otimes \mu_{2}) = \int \int f(x_{1}, x_{2})\; d\mu_{1}(x_{1}) d\mu_{2}(x_{2}) = \int \int f(x_{1}, x_{2})\; d \mu_{2}(x_{2}) d \mu_{1}(x_{1})$ Die Aufgabe muss man bestimmt mit vollständiger Induktion zeigen, oder? Oder geht das auch ohne Induktion? Induktionanfang: $n = 2$ Für eine borelmeßbare Menge $f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow [0, \infty]$ gilt nach Satz 3.1 (3.4): $\int f\; d \mathcal{L}^{2} = \int f\; d \left ( \mathcal{L}^{1} \otimes \mathcal{L}^{2 - 1} \right ) = \int f\; d \left ( \mathcal{L}^{1} \otimes \mathcal{L}^{1} \right ) = \int \int f(x_{1}, x_{2})\; d \mathcal{L}^{1}(x_{1})\; d \mathcal{L}^{1}(x_{2})$ Induktionshypothese: $\exists\; n \in \mathbb{N}_{\ge 2}: \int f \; d \mathcal{L}^{n} = \int \ldots \int f(x_{1}, \ldots, x_{n})\;d\mathcal{L}^{1}(x_{1}) \ldots d \mathcal{L}^{1}(x_{n})$ Induktionsschritt: $n \mapsto n + 1$ $\int f\; d \mathcal{L}^{n + 1} = \int f\; d \left ( \mathcal{L}^{1} \otimes \mathcal{L}^{n} \right ) = \ldots $ Hier hätte ich Probleme, "das Integral zu trennen" so, dass ich die Induktionshypothese anwenden kann. Hättest du da noch einen Tipp für mich?🙂 Viele Grüße, Marc


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AnnaKath
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-11-29

Huhu Marc, nun, die Induktion "schenkt" Dir vermutlich jeder halbwegs vernünftige Mensch (obwohl es sicher nicht schadet, sie formal durchzuführen). Wichtiger scheint mir darzulegen, inwiefern die Borel-Messbarkeit hier eine Rolle spielt (dass also das Mass einer Produktmenge das Produkt der Masse ist). lg, AK


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marcletzgus
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-01

Hallo, meinst du etwa, wie aus der borelmeßbarkeit folgt, dass $[f>0]$ $\sigma$ - endlich bzgl. $\mu \otimes v$ ist? Weil das ist die einzige Eigenschaft bei (3.4), die zu prüfen ist. \quoteon nun, die Induktion "schenkt" Dir vermutlich jeder halbwegs vernünftige Mensch (obwohl es sicher nicht schadet, sie formal durchzuführen). \quoteoff Ich will die Induktion durchführen, weil mich interessiert, wie ich das Integral "trennen" kann. Beispiel: Ich habe eine Funktion $f:\mathbb{R}^{4} \rightarrow [0, \infty]$ Dann ist $\int f\; d\mathcal{L}^{4} = \int f\; d \left ( \mathcal{L}^{1} \otimes \left ( \mathcal{L}^{1} \otimes \left ( \mathcal{L}^{1} \otimes \mathcal{L}^{1} \right ) \right )\right )$ Setze $x^{234} := (x_{2}, x_{3}, x_{4})$. Mit Fubini folgt dann $\int \int f\left (x_{1}, x^{234} \right )\; d \mathcal{L}^{1}(x_{1})\; d \left ( \mathcal{L}^{1} \otimes \left ( \mathcal{L}^{1} \otimes \mathcal{L}^{1} \right ) \right ) \left ( x^{234} \right )$. Wie geht es dann weiter? Viele Grüße, Marc


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AnnaKath
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-12-01

Huhu Marc, so richtig verstehe ich nicht, was Du Dich noch fragst... Mit Deinen Bezeichnungen könntest Du wie folgt rechnen: $\int f(x^{1234}) \: \mathrm{d}(\mathcal{L}^1 \otimes \mathcal{L}^1 \otimes \mathcal{L}^1 \otimes \mathcal{L}^1) (x^{1234})$ $=\int \int f(x_1, x^{234}) \: \mathrm{d}\mathcal{L}^1(x_1) \: \mathrm{d}(\mathcal{L}^1 \otimes \mathcal{L}^1 \otimes \mathcal{L}^1) (x^{234})$ $= \int \int \int f(x_1, x_2, x^{34}) \: \mathrm{d}\mathcal{L}^1(x_1) \: \mathrm{d}\mathcal{L}^1(x_2) \: \mathrm{d}(\mathcal{L}^1 \otimes \mathcal{L}^1) (x^{34})$ $= \int \int \int \int f(x_1, x_2, x_3, x^4) \: \mathrm{d}\mathcal{L}^1(x_1) \: \mathrm{d}\mathcal{L}^1(x_2) \: \mathrm{d}\mathcal{L}^1(x_3) \: \mathrm{d}\mathcal{L}^1 (x^4)$ $=\int \int \int \int f(x_1, x_2, x_3, x_4) \: \mathrm{d}\mathcal{L}^1(x_1) \: \mathrm{d}\mathcal{L}^1(x_2) \: \mathrm{d}\mathcal{L}^1(x_3) \: \mathrm{d}\mathcal{L}^1 (x_4)$ War das Deine Frage? lg, AK


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