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 Addition von partiellen Ableitungen soll 0 ergeben |
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Mathekitti
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Huhu, neuer Dienstag neue Probleme....
wir haben diese Aufgabe bekommen, aber leider wissen wir nicht, wie wir hier überhaupt anfangen sollen.... Ich habe die Informationen aufgeschrieben, die gegeben sind aber auch nach einer Stunde Skript durchblättern wissen wir nicht wo wir anfangen sollen. Danke für jede Hilfe
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Diophant
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-30
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
hm, wie kommst du denn hier auf den Begriff "Komponentenfunktion"?
Wenn man \(g_x\) und \(g_y\) als partielle Ableitungen versteht, wird die ganze Sache nämlich recht offensichtlich...
Hilft euch das eventuell schon weiter?
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Mehrdim. Differentialrechnung' von Diophant]\(\endgroup\)
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Mathekitti
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-30
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Hey, upps das war dann ein Fauxpas unsererseits. Uns ist folgender Einfall gekommen, aber ob der Anfang richtig ist, wie es weitergeht und wie die Rückrichtung startet verstehen wir noch nicht.
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Diophant
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-11-30
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Hallo,
die Funktion \(g\) ist ja eine Funktion von zwei Veränderlichen. Da kann man nicht mehr einfach einen Strich fürs Ableiten verwenden...
Arbeitet für die Hin-Richtung also mit eurer Ausgangsgleichung
\[\phi(x-y)=g(x,y)\]
und leitet diese je einmal (partiell) ab. Einmal nach x, einmal nach y. Das schreibt man auf der rechten Seite einfach mit den (gängigen) Abkürzungen \(g_x\), \(g_y\) aus der Aufgabenstellung.
Auf der linken Seite müsst ihr bedenken, dass es sich um eine Funktion \(\phi:\ \IR\to\IR\) handelt. Man könnte eventuell noch eine neue Variable für die Differenz einführen, nach der man dann ableitet. Auf jeden Fall solltet ihr diese Ableitung per Differentialquotient notieren und im Fall der Ableitung nach y an die (eindimensionale) Kettenregel denken.
Für die Rück-Richtung hätte ich folgende Idee anzubieten: die Gleichung
\[g_x+g_y=0\quad\iff\quad g_x=-g_y\]
wieder mittels (partieller) Differentialquotienten schreiben und dann ein wenig mit den Differentialen herumspielen...
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Mathekitti
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-30
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Hey, ich hoffe ich habe jetzt nicht vollkommenen Quatsch geschrieben und das mit dieser neuen Variable verstanden.... Muss ich dann jetzt nach x,y und z ableiten ? Die Schreibweise fühlt sich nämlich nicht richig an .... Ich wüsste auch nicht wie ich jetzt dann die Kettenregel anwenden kann... Ich stehe da leider auf dem Schlauch.,...
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Diophant
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-11-30
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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Hallo,
da hast du mich noch nicht so recht verstanden.
Setzen wir einmal \(t=x-y\) und betrachten die \(C^1(\IR)\)-Funktion \(\phi(t)\). Natürlich, deren Ableitung könnte man einfach als \(\phi'(t)\) notieren. Das hilft uns an dieser Stelle aber nicht weiter.
Wir könnten aber genausogut \(\phi'(t)=\frac{\dd}{\dd t}\phi(t)\) schreiben. Das alles hat aber mit der Aufgabe noch gar nicht so viel zu tun, sondern dient zunächst einfach nur als angemessene Schreibweise. Streng genommen kannst du die Ableitung nach t sogar tatsächlich mit \(\phi'(t)\) notieren, aber ab sofort braucht es Differentialquotienten.
So, jetzt erinnere dich an die obige Substitution \(t=x-y\) und verwende sie mit Hilfe der Kettenregel dazu, die beiden Ableitungen \(\frac{\dd}{\dd x}\phi(t)\) und \(\frac{\dd}{\dd y}\phi(t)\) als Vielfache von \(\phi'(t)=\frac{\dd}{\dd t}\phi(t)\) darzustellen.
Damit wäre die Hin-Richtung dann auch schon fast geschafft, auf den letzten Schritt kommst du sicherlich selbst...
Gruß, Diophant
\(\endgroup\)
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Mathekitti
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-30
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Hey, ich habe hier glaube ich ( so fühlt es sich an ) jedwede mathematische Gesetze und Regeln mit Füßen getreten..... Ich komme leider nicht ansatzweise darauf, wie ich hier die kettenregeln anwenden kann, da ich keine äußere und innere Funktion hinbekomme.... Die Substitution mit t hat mir leider auch nichts gebracht.... Ich versuche mich mal in der Zeit an der Rückrichtung auch wenn ich glaube, dass das ohne Verständnis der Hinrichtung schwierig wird...
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Diophant
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| Beitrag No.7, eingetragen 2021-11-30
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Hallo,
du solltest schon auch die gegebenen Hinweise befolgen:
\quoteon(2021-11-30 17:51 - Diophant in Beitrag No. 3)
und leitet diese je einmal (partiell) ab. Einmal nach x, einmal nach y.
\quoteoff
Ich mache mal noch ein wenig weiter. Wir haben also die Gleichung
\[\phi(t)=\phi(x-y)=g(x,y)\]
Die leiten wir nun einmal nach x ab:
\[\frac{\dd}{\dd x}\phi(t)=g_x\]
Und einmal nach y:
\[\frac{\dd}{\dd y}\phi(t)=g_y\]
Wenn du jetzt diese beiden Ableitungen auf der linken Seite noch knackst und beide Gleichungen addierst, dann steht das gewünschte da, nämlich
\[0=g_x+g_y\]
Aus \(t=x-y\) folgen sofort \(x=t+y\) und \(y=-t+x\). Und ich sage es jetzt nochmal: du brauchst hier einfach nur die (aus der Schule bekannte) eindimensionale Kettenregel anwenden also "äußere Ableitung mal innere Ableitung", und das war es dann auch schon.
---
Dein Problem ist offensichtlich, dass da einiges an Stoff noch nicht so recht verstanden ist, eventuell auch einfach die üblichen Schreibweisen nicht hinreichend gut sitzen. Von daher solltest du vielleicht an dieser Stelle erst einmal noch "deine Hausaufgaben" machen.
Ein Beispiel: aus der Gleichung \(t=x-y\) die Gleichung \(\dd t=\dd x-\dd y\) zu folgern, ist a) völlig sinnfrei und b) insbesondere falsch.
Was ich meine: wenn man auf solche "Verzweiflungstaten" zurückgreifen muss, ist es in der Mathematik oft ratsam, zunächst die aktuelle Aufgabe beiseite zu legen, den Stoff nochmal zu rekapitulieren, und dann einen neuen Anlauf zu starten.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Mathekitti
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-30
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Hey, es ist mir wirklich schon fast unangenehm, da die Lösung an sich ja wohl auf der Hand liegen muss..... Den Schritt bis hinzu, dass Ich die Ableitung nach x von Φ(t) mit der Ableitung nach y von Φ(t) addieren muss... Aber mir erschließt sich wirklich einfach nicht, wie ich dann diese Ableitung knacken soll.... Die klassische mir bekannte Kettenregel ist dann möglich wenn eine Funktion in der Form f(g(x) habe und die sehe ich hier einfach nicht. Ich habe überlegt dx duch d(t+y) zu erstezen, aber das macht ja auch keinen Sinn. Danke für deine Geduld
Und danke für deine Ratschläge, ich werde Sie mir aufjedenfall zu Herzen nehmen. Die Vorlesung findet nur leider aufgrund diverser Gründe in einem Misch aus Videos, mal einer Präsenzlesung und viel Skriptarbeit statt und orientiert sich gerade eher an Vollmathematiker, was es für Lehrämter wie mich etwas schwieriger macht.
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Diophant
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| Beitrag No.9, eingetragen 2021-11-30
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Hallo,
Das weißt du:
\[\phi'(t)=\frac{\dd}{\dd t}\phi(t)\]
Das weißt du einfach deshalb, weil es sich um eine \(C^1\)-Funktion handelt und insbesondere die Ableitung überall existiert.
Das suchst du (für \(t=x-y\)):
\[\frac{\dd}{\dd x}\phi(t),\quad \frac{\dd}{\dd y}\phi(t)\]
Mal ein vertrauteres Beispiel: sicherlich ist dir der Sachverhalt \(\left(e^t\right)'=e^t\) vertraut.
Jetzt setzen wir wieder \(t=x-y\) und betrachten die Funktion
\[f(x,y)=e^t=e^{x-y}\]
Wie lautet hier die Ableitung nach x, wie die nach y?
Ganz genauso funktioniert es bei der Funktion \(\phi\) auch, nur dass man hier keinen konkreten Funktionsterm hat (und auch nicht benötigt, da es ja nur um die Existenz einer solchen Funktion geht).
\quoteon(2021-11-30 19:39 - Mathekitti in Beitrag No. 8)
Die Vorlesung findet nur leider aufgrund diverser Gründe in einem Misch aus Videos, mal einer Präsenzlesung und viel Skriptarbeit statt und orientiert sich gerade eher an Vollmathematiker, was es für Lehrämter wie mich etwas schwieriger macht.
\quoteoff
Besorge dir geeignete Literatur. Das ist im Studium unverzichtbar, egal ob mit oder ohne Präsenz.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Mathekitti
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-30
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Die Ableitung lautet da dann nach x: e^(x-y) und nach y:
-e^(x-y) und das addiert ergibt dann 0.
\[\frac{\dd}{\dd x}\phi(t) =0 ,\quad \frac{\dd}{\dd y}\phi(t)=0\]
Das Beispiel macht es aufjedenfall anschaulicher, jedoch komme ich nicht klar damit, dass es keinen konkreten Funktionsterm gibt.... da habe ich noch einiges aufzuarbeiten. Ich sehe leider immer noch nicht, was äußere und innere ableitung sein soll, tut mir leid.
Bei der Rückrichtung ebenso.... Ich habe g_x= -g_y als
\[\frac{\dd}{\dd x}\ g(x,y) = -\frac{\dd}{\dd y}\ g(x,y)\] geschrieben, aber weiter klappt es nicht.
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Diophant
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| Beitrag No.11, eingetragen 2021-11-30
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\quoteon(2021-11-30 20:08 - Mathekitti in Beitrag No. 10)
Die Ableitung lautet da dann nach x: e^(x-y) und nach y:
-e^(x-y) und das addiert ergibt dann 0.
\quoteoff
Richtig.
\quoteon(2021-11-30 20:08 - Mathekitti in Beitrag No. 10)
\[\frac{\dd}{\dd x}\phi(t) =0 ,\quad \frac{\dd}{\dd y}\phi(t)=0\]
\quoteoff
Falsch.
Warum sollten beide Ableitungen Null sein? Das würde doch sofort bedeuten, dass \(\phi(x-y)\) konstant ist. Das macht aber keinerlei Sinn.
Du musst also grundsätzlich über dein Tun mehr nachdenken. Es macht auch keinen Sinn, im Minutentakt Versuche rauszuhauen ohne eine genaue Vorstellung zu haben, was man da gerade macht. Du solltest dir vielleicht auch einfach mehr Zeit dafür nehmen, die jeweiligen Antworten zu verstehen.
\quoteon(2021-11-30 20:08 - Mathekitti in Beitrag No. 10)
Das Beispiel macht es aufjedenfall anschaulicher, jedoch komme ich nicht klar damit, dass es keinen konkreten Funktionsterm gibt.... da habe ich noch einiges aufzuarbeiten.
\quoteoff
Vor allem musst du über die Bedeutung der Dinge mehr nachdenken und aufhören, irgendwelche Algorithmen herunterzurechnen (wie man es ja leider aus der Schule oftmals gewöhnt ist).
\quoteon(2021-11-30 20:08 - Mathekitti in Beitrag No. 10)
Ich sehe leider immer noch nicht, was äußere und innere ableitung sein soll, tut mir leid.
\quoteoff
Die äußere Ableitung ist einfach \(\phi'(t)\) bzw. \(\frac{\dd}{\dd t}\phi(t)\). Das ist wie gesagt eine Frage der Schreibweise.
So, jetzt zu den inneren Ableitungen. Was ergeben denn die beiden Terme \(t+y\) und \(-t+x\) wohl nach t abgeleitet?
Die Rückrichtung verschieben wir besser auf einen späteren Zeitpunkt. Nur so viel: hier stimmt deine Schreibweise der Differentiale nicht, da es jetzt um partielle Ableitungen geht.
Gruß, Diophant
\(\endgroup\)
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Mathekitti
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-30
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Das war dann jetzt eine schwere Geburt und ich kann dir nur vielmals Danke für deine Hilfe und guten Ratschläge geben. Ich hoffe, dass dies jetzt so richtig ist.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55157_8.5.JPG
Ich muss wirklich von diesem Schuldenken und Rechnen wegkommen. Hast du eventuell noch ein paar Hinweise oder Tipps für die Rückrichtung ?
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zippy
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 | Beitrag No.13, eingetragen 2021-11-30
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\quoteon(2021-11-30 20:16 - Diophant in Beitrag No. 11)
\quoteon(2021-11-30 20:08 - Mathekitti in Beitrag No. 10)
\[\frac{\dd}{\dd x}\phi(t) =0 ,\quad \frac{\dd}{\dd y}\phi(t)=0\]
\quoteoff
Falsch.
\quoteoff
Entweder ist $t$ eine Variable, dann ist das richtig.
Oder $t$ ist eine Funktion, dann sollten wir von $\phi\bigl(t(x,y)\bigr)$ reden und partielle Ableitungen hinschreiben.
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Mathekitti
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-30
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Ist denn meine aktuelle Antwort jetzt korrekt?
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zippy
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| Beitrag No.15, eingetragen 2021-11-30
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\quoteon(2021-11-30 21:47 - Mathekitti in Beitrag No. 14)
Ist denn meine aktuelle Antwort jetzt korrekt?
\quoteoff
Da schimmert die richtige Idee durch, aber es ist völlig vermurkst aufgeschrieben.
Als erstes musst du mal den Anschluss an deine Vorlesung herstellen: Wie habt ihr die mehrdimensionale Kettenregel formuliert?
Konkret: Wir haben differenzierbare Funktionen $\phi\colon\mathbb R\to\mathbb R$ und $h\colon\mathbb R^2\to\mathbb R$ und setzen $g:=\phi\circ h$, was ja nichts anderes als $g(x,y)=\phi\bigl(h(x,y)\bigr)$ bedeutet. Wie berechnet man die Ableitung von $g$ aus denen von $\phi$ und $h$?
Das wird mit Sicherheit irgendwo in deinen Unterlagen stehen. Formuliert entweder mit Jacobi-Matrizen, Gradienten oder partiellen Ableitungen.
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Mathekitti
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-30
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Hallo, hier habe ich mal die Definition aus unserem Skript. Jedoch muss ich offen sagen, dass ich den Ansatz von Diophant zugänglicher fand. Oder muss ich auf den rechten Term jetzt einfach noch die Kettenregel anwenden und bin dann am gleichen Ziel?
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55157_8.6.JPG
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zippy
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| Beitrag No.17, eingetragen 2021-11-30
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Du kannst von dieser allgemeinen Formel den Spezialfall $n=2$, $m=1$, $d=1$ betrachten. Angewandt auf $g(x,y)=\phi\bigl(h(x,y)\bigr)$ hast du dann$$
{\partial g\over\partial x}(x,y) = \phi'\bigl(h(x,y)\bigr)\,
{\partial h\over\partial x}(x,y) \;,\quad
{\partial g\over\partial y}(x,y) = \phi'\bigl(h(x,y)\bigr)\,
{\partial h\over\partial y}(x,y) \;,
$$wobei ausgenutzt wurde, dass $\phi$ nur von einer Variablen abhängt und damit die partielle Ableitung mit der gewöhnlichen zusammenfällt.
Und jetzt setze in diese Formeln $h(x,y)=x-y$ ein.
\quoteon(2021-11-30 22:45 - Mathekitti in Beitrag No. 16)
Jedoch muss ich offen sagen, dass ich den Ansatz von Diophant zugänglicher fand.
\quoteoff
Das glaube ich dir sofort. Aber der Sinn dieser Aufgaben besteht ja gerade darin, etwas konkret anzuwenden, das man vorher allgemein gelernt hat. Das Gelernte einfach über Bord zu werfen und sich etwas für die konkrete Aufgabe zusammenzureimen, führt daher nicht zum Ziel.
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Mathekitti
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| Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-30
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Ich hoffe, du meintest das so :
Alleine wäre ich darauf nie gekommen.... Genauso muss ich leider sagen, habe ich für die Rückrichtung keinerlei Ahnung ich in ähnlicher Weise auf eine Lösung kommen soll... Ich versuche bei solchen Beweisen, dass was gegeben ist umzuschreiben oder durch Sachen aus dem Skript zu ersetzen, die mir helfen könnten. Aber gelingen möchte mir das leider zu selten...
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55157_8.7.JPG
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zippy
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| Beitrag No.19, eingetragen 2021-11-30
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Das "$=0$" sieht mit etwas deplatziert aus. Es verschwindet ja nur die Summe aus beiden Ableitungen und nicht jede Ableitung einzeln.
Für $h(x,y)=x-y$ ergibt sich$$
g_x(x,y)={\partial g\over\partial x}(x,y) = \phi'(x-y) \;,\quad
g_y(x,y)={\partial g\over\partial y}(x,y) = -\phi'(x-y)
$$wegen ${\partial h\over\partial x}(x,y)=1$, ${\partial h\over\partial y}(x,y)=-1$ und damit $g_x(x,y)+g_y(x,y)=0$.
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Mathekitti
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| Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-30
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Upps, da habe ich das einfach falsch notiert, ich habe es noch abgeändert. Hättest du denn noch Hinweise / Lösungsvorschläge für die Rückrichtung?
es gilt ja g_x+g_y= 0, also ist g_x= -g_y. Das könnte ich wie von Diophant angeregt in Quotientenform bringen, aber wie das nachher zu dem Phi führen soll, weiß ich nicht
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zippy
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| Beitrag No.21, eingetragen 2021-11-30
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\quoteon(2021-11-30 23:19 - Mathekitti in Beitrag No. 18)
Genauso muss ich leider sagen, habe ich für die Rückrichtung keinerlei Ahnung
\quoteoff
Die Rückrichtung ist auch etwa schwieriger.
Ein Vorschlag: Zeige, dass für feste Werte von $x$ und $y$ die Ableitung der Funktion $z\mapsto g(x+z,y+z)$ verschwindet (dabei hilft wieder die Kettenregel). Dann kannst du $z=-y$ setzen und findest $\phi(t)=g(t,0)$.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.19 begonnen.]
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Mathekitti
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| Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-30
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Ich muss leider sagen, dass ich den Ansatz von dir wirklich garnicht verstehe... ich habe jetzt mal versucht analog die Kettenregel aufzustellen, wie bei der Hinrichtung. Je öfter ich die Hinrichtung durchlese umso besser verstehe ich, was überhaupt gemacht wurde, aber ich verstehe nicht was wir bei der Rückrichtung hinkriegen wollen / wie
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55157_8.8.JPG
( Die Chance, dass das hier falsch ist, ist sehr hoch)...
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zippy
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| Beitrag No.23, eingetragen 2021-12-01
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\quoteon(2021-11-30 23:58 - Mathekitti in Beitrag No. 22)
( Die Chance, dass das hier falsch ist, ist sehr hoch)...
\quoteoff
Da hast du Recht.
Gib der Funktion von $z$ einfach mal einen Namen: $r(z):=g(x+z,y+z)$.
$r$ ist die Verkettung von $g$ mit der Funktion $q(z)=(x+z,y+z)$ und deine Kettenregel kommt in der Geschmacksrichtung $n=1$, $m=2$, $d=1$ zum Einsatz.
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Mathekitti
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| Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-01
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Ich hoffe, dass dieses Mal was Richtiges dabei ist. Da ich heute früh raus muss, höre ich erstmal auf und werde Morgen früh auf deine Antwort reagieren. Vielen vielen Dank schonmal und ich hoffe, dass du die Geduld mit mir nicht verlierst und wir die Aufgabe im Laufe des Tages gelöst bekommen. Gute Nacht
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55157_8.9.JPG
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zippy
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| Beitrag No.25, eingetragen 2021-12-01
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\quoteon(2021-12-01 00:31 - Mathekitti in Beitrag No. 24)
Ich hoffe, dass dieses Mal was Richtiges dabei ist.
\quoteoff
Leider nein. $r$ und $q$ sind Funktionen der einen Variablen $z$, nach etwas anderem (wie etwa $x$) abzuleiten ergibt keinen Sinn. Für beide Funktionen können wir gewöhnlich Ableitungen hinschreiben, da siese mit der partiellen nach der einzigen Variablen $z$ zusammenfallen:$$
r'(z) = {\partial g\over\partial x}\bigl(q(z)\bigr)\,q_1'(z) +
{\partial g\over\partial y}\bigl(q(z)\bigr)\,q_2'(z)
$$Für $q(z)=(x+z,y+z)$ ist $q_1'(z)=q_2'(z)=1$ und es folgt$$
r'(z) = {\partial g\over\partial x}(x+z,y+z) +
{\partial g\over\partial y}(x+z,y+z) = 0 \,.
$$Also ist $r(z)$ konstant und der Gleichheit $r(0)=r(-y)$ entspricht $g(x,y)=g(x-y,0)$.
$g(x,y)$ lässt sich also schreiben als eine Funktion, die nur von der Differenz $x-y$ abhängt.
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Mathekitti
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| Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-01
|
Danke für deine Hilfe. Ich muss mich wirklich in die Schreibweisen einlesen und mir Gedanken machen, was genau ich überhaupt machen möchte / soll. Danke für die freundliche Hilfe. Wenn ich bei noch einer Aufgabe Hilfe brauche, würde ich mich natürlich über Hilfe freuen. Ansonsten noch einen schönen Tag und danke an Euch Beide!
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Wally
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 | Beitrag No.27, eingetragen 2021-12-01
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Nur mal so im Nachhinein:
eine alternative Rechnung (ein bischen ähnlich wie hier):
man führt neue Variablen \( u=x+y\) und \( v=x-y\) ein und rechnet mit der Kettenregel \( g_x+g_y=0 \Leftrightarrow 2g_u=0\) aus und interpretiert das richtig.
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
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