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  Lebesgue-Maß, Minkowski-Summe |
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finn_2431
Junior 
Dabei seit: 01.12.2021
Mitteilungen: 12
 |  Themenstart: 2021-12-01
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Hallo auf dem Matheplanet,
meine Aufgabe ist es, zu zeigen, dass die Abbildung x ↦ m(A∩(B+x)) mit x aus R^n stetig ist, wobei A und B endliches Maß haben (m soll hier das Lebesgue Maß sein).
Ich habe diese Aussage bereits für Quader und dann für offene Mengen A,B gezeigt. Jedoch weiß ich nicht, wie ich das ganze auf A,B beliebig erweitern kann... Habt ihr irgendwelche Tipps für mich?
Danke für eure Hilfe!
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semasch
Senior 
Dabei seit: 28.05.2021
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-02
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Moin finn_2431,
offenbar handelt es sich mit $f_{A,B}(x) := \lambda_n(A \cap (B+x))$ für alle $x \in \mathbb{R}^n$ bei $f_{A,B}$ für alle $A,B \in \mathfrak{L}_n$ mit $\lambda_n(A), \lambda_n(B) < \infty$ um eine beschränkte Funktion auf $\mathbb{R}^n$, d.h. $f_{A,B} \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R})$. Verwende nun, basierend auf dem was du schon gezeigt hast, Folgendes:
(i) $\lambda_n$ ist als Lebesgue-Stieltjes-Maß von oben regulär, d.h. zu $A,B \in \mathfrak{L}_n$ mit $\lambda_n(A), \lambda_n(B) < \infty$ gibt es für jedes $\epsilon > 0$ offene Mengen $O_{A,\epsilon}, O_{B,\epsilon} \subseteq \mathbb{R}^n$ mit $A \subseteq O_{A,\epsilon}, B \subseteq O_{B,\epsilon}$ und $\lambda_n(O_{A,\epsilon} \setminus A), \lambda_n(O_{B,\epsilon} \setminus B) < \epsilon$.
(ii) Die beschränkten stetigen Funktionen $\mathcal{C}_b(\mathbb{R}^n, \mathbb{R})$ bilden einen abgeschlossenen Unterraum des Banachraums $\left(\mathcal{B}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}), \|\cdot\|_{\infty}\right)$.
Damit kannst du die Gültigkeit der Behauptung nachweisen.
LG,
semasch
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finn_2431
Junior
Dabei seit: 01.12.2021
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-02
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Hallo semasch,
vielen Dank für deine Antwort!
Mir ist jedoch noch nicht klar, wie ich aus (ii) die Behauptung folgern kann.
Der Banachraum an sich ist mir bekannt, jedoch sehe ich die Verbindung nicht.
Gruß,
Finn
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semasch
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-12-02
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Zeige, dass (in der Situation von (i)) z.B.
\[f_{O_{A,1/n}, O_{B,1/n}} \xrightarrow{\|\cdot\|_{\infty}} f_{A,B},\]
womit aus (ii) die Stetigkeit von $f_{A,B}$ folgt.
LG,
semasch
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finn_2431
Junior
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-02
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Hallo semasch,
da ich weiß, dass die Funktion f für offene Mengen stetig ist, kann ich den limes in die Funktion ziehen.
Wozu brauche ich die Unendlich-Norm?
Danke,
Finn
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semasch
Senior
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-12-02
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Gemeint ist, dass du nachweisen sollst, dass $(f_{O_{A,1/n},O_{B,1/n}})_n$ gleichmäßig, d.h. bezüglich $\|\cdot\|_{\infty}$, gegen $f_{A,B}$ konvergiert. Mit anderen Worten, zeige, dass
\[\lim_{n \to \infty} \|f_{O_{A,1/n},O_{B,1/n}} - f_{A,B}\|_{\infty} = 0 \tag{1}\]
ist. Dazu schätzt du unter Verwendung von (i) den Ausdruck $\|f_{O_{A,1/n},O_{B,1/n}} - f_{A,B}\|_{\infty}$ durch eine Nullfolge nach oben ab, woraus dann $(1)$ folgt. Mit (ii) folgt aus der Stetigkeit der $f_{O_{A,1/n},O_{B,1/n}}$ die Behauptung, wobei hier und nur hier die bereits bewiesene Stetigkeit dieser Funktionen eingeht.
LG,
semasch
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finn_2431
Junior
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-02
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Jetzt ist mir das Vorgehen klar geworden!
Danke!
Als letzte Rückfrage:
Ist es zielführend, wenn ich die Schnitte durch die Summe der jeweiligen Lebesgue-Maße abschätze und im nächsten Schritt zur Differenz von Ua\A und Ub\B übergehe?
Also ||m(Ua ∩ (x+Ub))-m(A ∩ (x+B))|| <= ||m(Ua)+m(x+Ub)-m(A)-m(x+B)|| = ||m(Ua)+m(Ub)-m(A)-m(B)|| <= ||m(Ua\A)+m(Ub\b)||
(Leider weiß ich nicht, wie ich in diesem Editor schreiben kann..)
Danke!
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semasch
Senior
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| Beitrag No.7, eingetragen 2021-12-02
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\quoteon(2021-12-02 14:39 - finn_2431 in Beitrag No. 6)
Ist es zielführend, wenn ich die Schnitte durch die Summe der jeweiligen Lebesgue-Maße abschätze und im nächsten Schritt zur Differenz von Ua\A und Ub\B übergehe?
\quoteoff
Das klappt noch nicht so ganz, geht aber schon in die richtige Richtung. Die erste Ungleichung in
\quoteon(2021-12-02 14:39 - finn_2431 in Beitrag No. 6)
Also ||m(Ua ∩ (x+Ub))-m(A ∩ (x+B))|| <= ||m(Ua)+m(x+Ub)-m(A)-m(x+B)|| = ||m(Ua)+m(Ub)-m(A)-m(B)|| <= ||m(Ua\A)+m(Ub\b)||
\quoteoff
klappt so nämlich noch nicht. Besser ist es, zu verwenden, dass sich die involvierten offenen Mengen als disjunkte Vereinigungen $O_{A,1/k} = A \cup O_{A,1/k} \setminus A$ und $O_{B,1/k} = B \cup O_{B,1/k} \setminus B$ schreiben lassen und die Additivität von $\lambda_n$ einzusetzen, um gemäß
\[\lambda_n(O_{A,1/k} \cap (O_{B,1/k}+x)) = \lambda_n(A+(B+x)) + [\ldots]\]
umzuformen. Schätze dann den Betrag von $[\ldots]$ geeignet ab.
LG,
semasch
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finn_2431
Junior
Dabei seit: 01.12.2021
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-02
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Jetzt hat alles geklappt, danke für deine Hilfe und deine Geduld!
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finn_2431 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
finn_2431 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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