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| Autor |
  Integral differenzierbar |
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JamesNguyen
Aktiv 
Dabei seit: 08.11.2020
Mitteilungen: 300
 |  Themenstart: 2021-12-02
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Hallo,
ich komm gerade bei folgender Aufgabe nicht weiter.
f : [0, 1] -> \IR ist stetig.
Man soll zeigen:
1. F : [0, 1] -> \IR, x -> int(f(t),t,x,x^3) ist diff'bar
2. Berechne F'
Ich bin bisher nicht weit gekommen.
In Betracht gezogen habe ich eigentlich einiges was ich so aus der
Vorlesung kenne:
Differentialquotienten aufstellen.
Mittelwertsatz der Integralrechnung.
F also Summe von zwei Integralen.
HDI.
Aber ich komme nicht auf den richtigen Weg oder
stelle nicht die richtigen Ansätze auf/ mache nicht
die richtigen Umformungen.
Hat jemand eine Idee/Ansatz?
Gruß,
James Nguyen
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StrgAltEntf
Senior 
Dabei seit: 19.01.2013
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-02
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Hallo,
betrachte eine Stammfunktion g von f. Verwende dann den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
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JamesNguyen
Aktiv
Dabei seit: 08.11.2020
Mitteilungen: 300
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-02
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Haha, witzig.
Danke, ich denke ich konnte es mit deinem Hinweis schnell lösen.
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StrgAltEntf
Senior
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-12-02
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Schön! Wenn du magst, kannst du deine Lösung ja noch mal präsentieren.
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JamesNguyen
Aktiv
Dabei seit: 08.11.2020
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-02
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Ok ich tue dir den Gefallen :)
f : [0, 1] -> \IR ist stetig.
Für alle x \el\ [0, 1] ist auch f eingeschränkt auf [x^3, x] stetig.
Wir können also den HDI anwenden. Nach dem HDI existiert eine Stammfunktion g
und für jedes x \el\ [0, 1] gilt dann
g(x^3) - g(x) = int(f(t),t,x,x^3) = F(x).
g ist diff'bar mit g' = f, da Stammfunktion.
g(x^3) ist diff'bar nach Kettenregel.
Dann ist F also diff'bar und es gilt
F'(x) = f(x^3)*3x^2 - f(x).
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StrgAltEntf
Senior
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Mitteilungen: 8187
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-12-02
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Prima, habe nichts einzuwenden. Die Abkürzung HDI konnte ich übrigens zunächst nicht zuordnen.
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JamesNguyen hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
JamesNguyen hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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