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  messbare Funktionen |
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mathescience
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 17.06.2020
Mitteilungen: 82
 |  Themenstart: 2021-12-05
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Hallo Leute,
ich stecke seit Tagen an einer Aufgabe fest und komme nicht weiter ich meine ich verstehe generell das Thema leider nicht, obwohl ich mir die Definition tausendmal durchgelesen habe.
Die Aufgabe lautet :
Sei _k eine Folge messbarer Funktionen f_k : X ->\IR, wobei X messbar ist.Wir wollen zeigen, dass die Menge E:= menge(x\el\ X| (f_k(x)) konvergiert) messbar ist. Zeige dazu :
a) Beweisen Sie, dass die Menge (E^l)_k,j: = menge(x\el\ X| f_k(x)-f_j(x)<= 1/(l+1))
für beliebige k,j,l messbar.
b)Beweisen Sie dass die Menge E^´= \cut\ \union\ \cut\ (E^´)_k,j messbar ist und dass gilt E=E^´, wobei l\el\ \IN,n\el\ \IN und k,j>=n
Ich habe wirklich keine Ahnung wie ich hier dran gehen soll.
Ich würde mich für jede Hilfe sehr freuen!!
Danke im Voraus
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2623
Wohnort: Köln
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-05
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
wie immer ist ein guter erster Schritt sich zu überlegen, was man zu zeigen hat.
Es gilt zum Beispiel
$$
(E^\ell)_{k,j}=\left\lbrace x\in X\mid |f_k(x)-f_j(x)|\leq \frac{1}{\ell+1}\right\rbrace=g_{k,j}^{-1}\left(\left(-\infty,\frac{1}{\ell+1}\right]\right)=g_{k,j}^{-1}\left(\left[0,\frac{1}{\ell+1}\right]\right),
$$
wobei $g_{k,j}:=|f_k-f_j|$.
Was folgt daraus?
Deine Formulierung der b) ergibt für mich so keinen Sinn. Was soll denn $\cap\cup\cap$ bedeuten? Generell ist deine Aufgabenstellung sehr unpräzise und enthält offensichtliche Fehler. Die genaue Situation wird wohl die folgende sein:
$(X,\mathcal A)$ ist ein Messraum und auf $\mathbb R$ betrachten wir die Borel'sche $\sigma$-Algebra $\mathcal B:=\mathcal B(\mathbb R)$. Weiter sei für jedes $k\in \mathbb N$ $f_k\colon X\to \mathbb R$ eine $(\mathcal A,\mathcal B)$-messbare Abbildung.
LG Nico
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Maßtheorie' von nzimme10]\(\endgroup\)
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mathescience
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 17.06.2020
Mitteilungen: 82
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-05
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Also die Aufgaben Stellung lautet genauso außer, vllt dass unter dem Durchschnitt
l\el\ \IN und unter der Vereinigung n\el\ \IN und dann wieder unter dem letzten Durchschnitt k,j>=n steht.Konnte leider nicht direkt drunter aufschreiben.
Bei der zweiten Menge habe ich de Betragsstriche vergessen also {.... abs(f_k(x)-f_j(x)) ....}
Aber ansonsten genauso die Aufgabenstellung abgeschrieben.
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2623
Wohnort: Köln
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-12-05
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Hallo,
habe meinen Beitrag in diesem Fall korrigiert. Auch mit Betragsstrichen ist der Ansatz identisch. Lass uns also erstmal die a) zu Ende klären und wenn dir die a) klar ist, dann sehen wir uns die b) an🙂
LG Nico
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mathescience
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 17.06.2020
Mitteilungen: 82
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-06
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Habe es doch noch hingekriegt, danke trotzdem für deine Hilfe :)
Gruß
mathescience
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mathescience hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
mathescience hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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