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 dim(span) Addition |
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Perry420
Neu 
Dabei seit: 06.12.2021
Mitteilungen: 1
 |  Themenstart: 2021-12-06
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Hi Leute,
habe Momentan ein Problem mit folgendem Beweis:
Sei K ein beliebiger Körper, A, B ∈ Mm,n(K) und C ∈ Mr,m(K). Wir
schreiben rang(A) für den Rang von A.
aufg: Ist rang(A + B) ≤ rang(A) + rang(B)?
Ich habe als erstes versucht den Rang so aufzuschreiben:
Rang(A)=dim(span(a_1,...,a_n))
Rang(B)=dim(span(b_1,...,b_n))
Eingefügt in die Gleichung die zu beweisen ist...:
dim(span(a_1,...,a_n) + span(b_1,...,b_n)) ≤ dim(span(a_1,...,a_n)) + dim(span(b_1,...,b_n))
nun weis ich aber nicht, wie man hier den Beweis herausbekommt.
Wäre super wenn mir jemand helfen könnte :).
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 Profil
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 9121
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-06
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo und willkommen hier im Forum!
Das ist ja offensichtlich nur Teil einer größeren Aufgabe, da die Matrix C hier ja keine Rolle spielt?
Für den Rang von A, B sowie A+B könntest du dir einmal etwas mit dem Minimum \(\min(m,n)\) überlegen...
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Nuramon
Senior 
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3549
| Beitrag No.2, eingetragen 2021-12-06
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)
Hallo,
\quoteon(2021-12-06 15:18 - Perry420 im Themenstart)
Eingefügt in die Gleichung die zu beweisen ist...:
dim(span(a_1,...,a_n) + span(b_1,...,b_n)) ≤ dim(span(a_1,...,a_n)) + dim(span(b_1,...,b_n))
\quoteoff
Nein, das ist nicht die Ungleichung, die zu beweisen ist. Deine linke Seite ist nämlich nicht gleich $\opn{rang}(A+B)$.\(\endgroup\)
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| | Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6247
Wohnort: Nordamerika
 |  Beitrag No.3, eingetragen 2021-12-07
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Mit linearen Abbildungen ist das sehr einfach zu durchschauen.
Für lineare Abbildungen $f,g : V \to W$ gilt sicherlich
$\mathrm{im}(f+g) \subseteq \mathrm{im}(f) + \mathrm{im}(g),$
und außerdem gilt generell $\mathrm{rang}(f) = \dim(\mathrm{im}(f))$ (per Definition) sowie $\dim(U+U') \leq \dim(U)+\dim(U')$ (weil es einen Epimorphismus $U \oplus U' \twoheadrightarrow U + U'$ gibt).
Es folgt sofort die Behauptung.
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