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Universität/Hochschule J Lösung einer Dgl.
Olli1208
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  Themenstart: 2021-12-06

Seien $a,b,L \in (0,\infty)$ und $f:[t_0,t_0+a]\times \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ stetig mit $|f(t,y)|\leq L$ für alle $(t,y)\in [t_0,t_0+a] \times [y_0-b,y_0+b]$. Sei $c:=min\{a,\frac{b}{L}\}$ und $I:=[t_0,t_0+c].$ Betrachten Sie das AWP $y'=f(t,y), y(t_0)=y_0$ mit $t\in I$. Dann existiert eine maximale und minimale Lösung auf $I$: Zeigen Sie: Ist $\phi:I\rightarrow \mathbb R$ eine Lösung des AWP, so ist $(s,\phi (s))\in I \times [y_0-b,y_0+b]$ für alle $s\in I$. Hinweis: Widerspruchsbeweis Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Ich komme hier überhaupt nicht weiter. Viele Grüße, Olli


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Wally
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-06

Hallo Olli, schreib das AWP in eine Integralgleichung um und schätze ab. Viele Grüße Wally


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Olli1208
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-06

Um die Aussage per Widerspruchsbeweis zu zeigen, muss ich ja annehmen, dass ein $x\in I$ existiert, sodass $(x,\phi (x)) \notin [t_0,t_0+c] \times [y_0-b,y_0+b]$ ist. Schreibe ich nun das AWP als Integralgleichung, so erhalte ich $\phi (t)=\phi(t_0)+\int_{t_0}^t \phi '(s)ds=y_0+\int_{t_0}^t f(s,\phi (s)) ds$ Die einzige Idee, die ich habe um das abschätzen, wäre die Beschränktheit von $|f(t,y)|$ auszunutzen, komme damit aber nicht weiter... Viele Grüße, Olli


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Wally
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-12-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Du brauchst keinen Widerspruchsbeweis. Mach das direkt: \( |y(t)-y_0|=|\int\ldots|\le\ldots\) Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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Olli1208
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

Habe es jetzt hinbekommen. Das ist ja ganz einfach ohne den Hinweis. Viele Grüße, Olli


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Wally
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-12-07

Hallo Olli, dann kannst du ja das OK-Häkchen setzen. Viele Grüße Wally


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Olli1208 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Olli1208 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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