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Analysis » Funktionen » Anwendung des HS für symmetrische Polynome
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Universität/Hochschule J Anwendung des HS für symmetrische Polynome
Cyborg
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  Themenstart: 2021-12-07

Hallo, Leute! Ich habe folgendes Problem: Mal angenommen \(f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\) ist symmetrisch, dann gilt: \[f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)=P(\sigma_1,\ldots,\sigma_n)\] Wobei \(\sigma_1,\ldots,\sigma_n\) die elementarsymmetrischen Polynome in \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\) und \(P\) ein Polynom mit rationalen Koeffizienten sei. Soweit so gut! ABER: Mal angenommen \(g(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,\beta_3)\) ist symmetrisch in \(\alpha_1,\alpha_2\) und in \(\beta_1,\beta_2,\beta_3\), dann wende ich den Hauptsatz über elementarsymmetrische Polynome an: \[g(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,\beta_3)=P(\alpha_1,\alpha_2,b_1,b_2,b_3)\] Dabei seien \(b_1,b_2,b_3\) die elementarsymmetrischen Polynome in \(\beta_1,\beta_2,\beta_3\). \red\ FRAGE: Woher weiß ich, dass \(g(\alpha_1,\alpha_2,b_1,b_2,b_3)\) WEITERHIN symmetrisch in \(\alpha_1,\alpha_2\) ist??? Damit ich den HS nochmal anwenden kann! Ich halte das nicht für offensichtlich, es besteht Beweisbedarf.


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-07

Es gilt $g(\alpha_2,\alpha_1,\beta_1,\beta_2,\beta_3) = g(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,\beta_3)$ im Polynomring $k[\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,\beta_3]$. Für die Variablen $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ kann man beliebige Polynome einsetzen - formal betrachtet man dazu einen entsprechenden Einsetzungshomomorphismus und wendet ihn auf beide Seiten an. Daher folgt $g(\alpha_2,\alpha_1,b_1,b_2,b_3) = g(\alpha_1,\alpha_1,b_1,b_2,b_3)$ für alle Polynome $b_1,b_2,b_3$.


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Cyborg
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

Danke, Triceratops! Eine Frage noch: Wie genau wende ich den HS zum zweiten Mal an?: Es gilt doch: \[g(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,\beta_3)=P(\alpha_1,\alpha_2,b_1,b_2,b_3)\] Vielleicht so?: \[P(\alpha_1,\alpha_2,b_1,b_2,b_3)=P(\alpha_2,\alpha_1,b_1,b_2,b_3)\] Dann gilt: \(P(\alpha_1,\alpha_2,b_1,b_2,b_3)=Q(a_1,a_2,b_1,b_2,b_3)\) OK?


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Cyborg
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

OK, ich will nochmal gucken, ob ich mehrmaliges Anwenden des HS über symmetrische Polynome richtig anwende: Sei \(g(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)\) symmetrisch in \(\alpha_1,\alpha_2\), \(\beta_1,\beta_2\) und in \(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3\). Also gibt es \(P\) mit \[g(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)=P(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,c_1,c_2,c_3)\] Weil \(g\) symmetrisch in \(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3\) ist. Da \(g\) symmetrisch in \(\beta_1,\beta_2\), ist dies auch \(P\): \[g(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)=P(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,c_1,c_2,c_3)=Q(\alpha_1,\alpha_2,b_1,b_2,c_1,c_2,c_3)\] Weil \(g\) symmetrisch in \(\alpha_1,\alpha_2\), ist dies auch \(Q\), also gibt es \(R\): \[g(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)=P(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,c_1,c_2,c_3)=Q(\alpha_1,\alpha_2,b_1,b_2,c_1,c_2,c_3)=R(a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2,c_3)\] HABE ich das richtig aufgeschrieben????


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Cyborg
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

\red\ Wie würdet ihr beweisen , dass es für \(g(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)\) mit symmetrisch in \(\alpha_1,\alpha_2\), \(\beta_1,\beta_2\) und in \(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3\) ein Polynom \(R\) gibt mit: \[g(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)=R(a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2,c_3)\] Wobei \(a_1,a_2\) die elementarsymmetrischen Polynome für \(\alpha_1,\alpha_2\), \(b_1,b_2\) die von \(\beta_1,\beta_2\) und \(c_1,c_2,c_3\) die von \(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3\) seien??? \quoteon(2021-12-07 10:45 - Cyborg in Beitrag No. 3) Also gibt es \(P\) mit \[g(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)=P(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,c_1,c_2,c_3)\] \quoteoff Ich habe ein Problem damit zu schreiben \(g(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)=P(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,c_1,c_2,c_3)\). Sicher behaupten kann ich nur \(g(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)=P(c_1,c_2,c_3)\). Ist das doch legitim, dass \(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2\) auch in \(P\) vorhanden ist??


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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

\quoteon(2021-12-07 14:49 - Cyborg in Beitrag No. 4) \red\ Wie würdet ihr beweisen , dass es für \(g(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)\) mit symmetrisch in \(\alpha_1,\alpha_2\), \(\beta_1,\beta_2\) und in \(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3\) ein Polynom \(R\) gibt mit: \[g(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)=R(a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2,c_3)\] \quoteoff Ich habe oben eine Beweisversuchskizze gegeben, an der ihr euch orientieren könnt, nämlich das hier: \quoteon(2021-12-07 10:45 - Cyborg in Beitrag No. 3) OK, ich will nochmal gucken, ob ich mehrmaliges Anwenden des HS über symmetrische Polynome richtig anwende: Sei \(g(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)\) symmetrisch in \(\alpha_1,\alpha_2\), \(\beta_1,\beta_2\) und in \(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3\). Also gibt es \(P\) mit \[g(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)=P(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,c_1,c_2,c_3)\] Weil \(g\) symmetrisch in \(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3\) ist. Da \(g\) symmetrisch in \(\beta_1,\beta_2\), ist dies auch \(P\): \[g(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)=P(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,c_1,c_2,c_3)=Q(\alpha_1,\alpha_2,b_1,b_2,c_1,c_2,c_3)\] Weil \(g\) symmetrisch in \(\alpha_1,\alpha_2\), ist dies auch \(Q\), also gibt es \(R\): \[g(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)=P(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,c_1,c_2,c_3)=Q(\alpha_1,\alpha_2,b_1,b_2,c_1,c_2,c_3)=R(a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2,c_3)\] HABE ich das richtig aufgeschrieben???? \quoteoff


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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-08

Wisst ihr vielleicht, wo ich Literatur dazu bekomme? In einem Beweis im Internet, wird nämlich der Hauptsatz für gruppenweise symmetrische Polynome benutzt ohne Beweis, als ob das allgemein bekannt wäre!


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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-09

Ich habe mich nach einigen Zigaretten mit meinem Beweis ein bisschen anfreunden können, nämlich: \quoteon(2021-12-07 10:45 - Cyborg in Beitrag No. 3) Sei \(g(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)\) symmetrisch in \(\alpha_1,\alpha_2\), \(\beta_1,\beta_2\) und in \(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3\). Also gibt es \(P\) mit \[g(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)=P(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,c_1,c_2,c_3)\] Weil \(g\) symmetrisch in \(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3\) ist. Da \(g\) symmetrisch in \(\beta_1,\beta_2\), ist dies auch \(P\): \[g(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)=P(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,c_1,c_2,c_3)=Q(\alpha_1,\alpha_2,b_1,b_2,c_1,c_2,c_3)\] Weil \(g\) symmetrisch in \(\alpha_1,\alpha_2\), ist dies auch \(Q\), also gibt es \(R\): \[g(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)=P(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,c_1,c_2,c_3)=Q(\alpha_1,\alpha_2,b_1,b_2,c_1,c_2,c_3)=R(a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2,c_3)\] \quoteoff Kann mir jemand zumindestens bestätigen, dass gilt: SATZ: \(g(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)\) symmetrisch in \(\alpha_1,\alpha_2\), \(\beta_1,\beta_2\) und in \(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3\), DANN gibt es ein Polynom \(R\) so, dass gilt \(g(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)= R(a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2,c_3)\), wobei \(a_1,a_2\) elementarsymmetrische Polynome in \(\alpha_1,\alpha_2\), \(b_1,b_2\) elementarsymmetrische Polynome in \(\beta_1,\beta_2\) und \(c_1,c_2,c_3\) elementarsymmetrische Polynome in \(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3\) seien. \red\ Könnt mir die Richtigkeit dieser Variante des Hauptsatzes für symmetrische Polynome bestätigen, dass gruppenweise Symmetrie ausreicht. Ob mein Beweis richtig ist oder nicht, ich will zumindest wissen, ob SATZ: richtig ist. Weil ich das in einer Ausarbeitung einbauen muss, wüsste ich gerne, dass ich da nichts falsches benutze, den Beweis kann ich nämlich auslassen. Meine Fragen kann ich auf folgendes reduzieren: \[g(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)=P(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,c_1,c_2,c_3)=Q(\alpha_1,\alpha_2,b_1,b_2,c_1,c_2,c_3)\] Weil \(P\) symmetrisch in \(\beta_1,\beta_2\) ist, genau wie \(g\), gibt es ein Polynom \(Q\) mit \(P(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2,c_1,c_2,c_3)=Q(\alpha_1,\alpha_2,b_1,b_2,c_1,c_2,c_3)\), denn man kann doch alle Argumente von \(P\), außer \(\beta_1,\beta_2\), als irgendwelche Konstanten auffassen, die auch in \(Q\) wieder auftauchen. IST DAS KOSCHER?????????? Ich freue mich über jede Hilfe. Wäre schön, wenn ihr mich nicht ignorieren würdet. Das ist eines der letzten Nüsse, die ich mit eurer Hilfe knacken will und muss. Danach werde ich hinnehmen, dass ich etwas selber nicht kann und dann auch keine Hilfe mehr anfordern. 🙄


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