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| Autor |
  Äußeres Maß und Gleichheit |
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Fluadl
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 21.04.2021
Mitteilungen: 31
Wohnort: Österreich
 |  Themenstart: 2021-12-07
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Guten Tag!
Ich habe folgende Aufgabe gegeben bei der mir leider nach längerer Überlegung immer noch der Ansatz fehlt:
Seien $M,N \subseteq X$ und es gebe $A, B \in \mathcal{A}_{\mu^*}$ mit $M\subseteq A, N\subseteq B$ und $\mu^*(A\cap B) = 0$. Dann ist $\mu^*(M\cup N) = \mu^*(M)+\mu^*(N)$.
$\mu:\mathcal{H} \rightarrow \mathbb{R}$ ein Inhalt auf dem Halbring $\mathcal{H}$ mit $\mathcal{A} = \sigma (\mathcal{H})$ sei in der Angabe auch noch gegeben.
Da $A \in \mathcal{A}_{\mu^*}$ liegt gilt ja $\mu^*(A\cap C) + \mu^*(A^{c}\cap C) = \mu^*(C)$ für $C\in \mathcal{P}(X)$ (Gleiches für $B$).
Weiters weiß ich, dass $\mu^*(A) = inf\{ \sum\nolimits_{n\geq 0} \mu(E_n) : (E_n)_{n\geq 0}$ eine Folge in $\mathcal{H}, A\subseteq \cup_{n\geq 0}E_n\}$ ist.
Ich habe mir gedacht, mit diesen Definitionen arbeiten zu können, bin bis jetzt aber leider auf nichts brauchbares gestoßen. Wäre auf jeden Fall für ein paar Tipps sehr dankbar!
MfG Fluadl
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semasch
Senior 
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 483
Wohnort: Wien
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-08
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Moin Fluadl,
du hast bereits fast alles von dem aufgelistet, was benötigt wird. Zusätzlich brauchst du noch die Monotonie des äußeren Maßes $\mu^*$, die insbesondere impliziert, dass Teilmengen von Mengen mit äußerem Maß $0$ wieder äußeres Maß $0$ haben.
Überlege dir damit zunächst, dass
\[\mu^*(M \cap B) = \mu^*(N \cap A) = \mu^*((M \cup N) \cap (A \cap B)) = 0\]
gilt. Folgere, dass $\mu^*(M) = \mu^*(M \cap B^c)$ und $\mu^*(N) = \mu^*(N \cap A^c)$ gilt. Zerlege dann $\mu^*(M \cup N)$ zunächst mithilfe der $\mu^*$-messbaren Menge $A$ und folgere
\[\mu^*(M \cup N) = \mu^*((M \cup N) \cap A) + \mu^*(N).\]
Zerlege $\mu^*((M \cup N) \cap A)$ mithilfe der $\mu^*$-messbaren Menge $B$ und zeige damit
\[\mu^*((M \cup N) \cap A) = \mu^*(M).\]
LG,
semasch
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Fluadl
Wenig Aktiv
Dabei seit: 21.04.2021
Mitteilungen: 31
Wohnort: Österreich
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-13
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Grüße semasch!
Danke dir für deine Antwort! Ich glaube alles soweit mal verstanden zu haben und werde mich damit mal daran versuchen.
MfG Fluadl
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Fluadl hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Fluadl hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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