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Schulmathematik » Analytische Geometrie » Wie kann ich begründen, dass es sich um eine schiefe Pyramide handelt?
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Schule Wie kann ich begründen, dass es sich um eine schiefe Pyramide handelt?
Chinqi
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  Themenstart: 2021-12-07

geg.: A(5/-2/-3) B(2/2/-3) C(-6/-4/-3) D(-3/-8/-3) und Spitze S(2/2/3)


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thureduehrsen
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-07

schaue dir die Punkte B und S an. mfg thureduehrsen


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Caban
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-12-07

Hallo Hattet ihr schon das Skalarprodukt? Gruß Caban [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.] [Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Analytische Geometrie' von Caban]


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Chinqi
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

Ja, hatten wir


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Caban
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-12-07

Hallo Bei einer geraden Pyramide mit einem Parallelogramm als Grundfläche steht der Vektor (AM)^> senkrecht auf dem Vektor (MS)^>. M ist der Diagonalenschnittpunkt. Gruß Caban


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Chinqi
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

Ich habe jetzt die Vektoren SA = (3 -4 0) SC = (-8 -6 0) Wenn ich aus beiden das Skalarprodukt bilde kommt 0 raus.. ist das der Beweis?


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Caban
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-12-07

Hallo Nein, du brauchst den Diagonalenschnittpunkt dazu. Gruß Caban


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Chinqi
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

Also für den Diagonalenschnittpunkt habe ich: M = Vektor AC / 2 = (-11 -2 0) * 1/2 M = (6,5 -1 0) AM = (5,5 1 0) MS = (-3,5 3 3) Wenn ich aus den beiden das Skalarprodukt bilde kommt nicht 0 raus.. das heißt das es eine schiefe Pyramide ist?


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Caban
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-12-07

Hallo Dein M ist falsch, das ist nur der Vektor AM, du musst jetzt nochmal den Ortsvektor von A addieren. Gruß Caban


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thureduehrsen
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-12-07

Hallo zusammen, es kribbelt mir ja in den Fingern zu sagen einer der Eckpunkte der Grundfläche liegt direkt unter der Spitze, also kann das keine gerade Pyramide sein. Übersehe ich da etwas? mfg thureduehrsen


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Chinqi
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

Wie komme ich denn auf M? Ich dachte das wäre die Mitte der Diagonale? [Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]


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Chinqi
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

Also B und S bilden eine Senkrechte oder? Aber wie überprüfe ich das?


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thureduehrsen
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  Beitrag No.12, eingetragen 2021-12-07

da gibt es nichts zu überprüfen: es reicht zu sagen, dass die Punkte B und S in den ersten beiden Komponenten übereinstimmen, und das liest man einfach ab. mfg thureduehrsen


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Chinqi
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

Wenn die Aufgabe lautet: Ermittle die Größe des Winkels, der von den Seitenflächen ASD und CDS miteinander eingeschlossen wird. Da habe Ich zunächst die Ebenen gebildet und daraus die Normalenvektoren n1 = (9 -12 10) & n2 = (12 9 -20) raus bekommen. Nun muss ich ja cos Alpha = (n1 * n2) / |n1| x |n2| und da habe ich für Alpha' = 63,66° raus. Diesen Winkel muss ich von 180° subtrahieren und komme dann auf Alpha = 116,34°. Stimmt das?


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Caban
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  Beitrag No.14, eingetragen 2021-12-07

OM^>=OA^>+1/2*AC^>= 0M^>=(5;-2;-3)+1/2*(-11;-2;0)=(-0.5;-3;-3) AM^>=(-5.5;-1;0) MS^>=(2.5;5;6) Jetzt kannst du das Skalarprodukt bilden. Gruß Caban [Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.] @thureduehrsen Ich glaube kaum, das der Lehrer deinen weg akzeptiert.


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Chinqi
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  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

Wenn die Aufgabe lautet, dass ich das Volumen der Pyramide ausrechnen muss. Dann muss ich ja einfach nur A = 5 (Vektor AB) * 10 (Vektor AD) * 1/2 rechnen. Dann V = 1/3 * 25m² * √11m. Auf die Höhe √11m komme ich durch den Pythagoras, also √(6² - 5²)


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Caban
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  Beitrag No.16, eingetragen 2021-12-07

Hallo Bei deiner neuen Aufgabe musst du deine Normalenvektoren prüfen. Gruß Caban [Die Antwort wurde nach Beitrag No.14 begonnen.]


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.17, eingetragen 2021-12-07

\quoteon(2021-12-07 22:21 - thureduehrsen in Beitrag No. 9) einer der Eckpunkte der Grundfläche liegt direkt unter der Spitze, also kann das keine gerade Pyramide sein. Übersehe ich da etwas? \quoteoff Hallo thureduehrsen, warum soll das eine Begründung sein? Die Pyramide kann doch "schräg" im Koordinatensystem liegen, sodass zufällig die Spitze genau über einer der Ecken liegt. Zu zeigen (oder zu widerlegen) ist, dass die Verbindung zwischen Spitze und Mittelpunkt der Grundfläche senkrecht auf der Grundfläche steht. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.14 begonnen.]


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Chinqi
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  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

Aber grundlegend stimmt diese Denkweise zur neuen Aufgabe oder, wenn ich die richtigen Vektoren habe?


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Caban
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  Beitrag No.19, eingetragen 2021-12-07

Hallo nicht beachten Die grundfläche kannst du so nicht berechnen. Ihr habt doch bestimmt eine Formel mit dem Vektorprodukt kennengelernt, mit der man Parallelogramme berechnen kann. nicht beachten vorbei PS: Doch, ich hatte übesehen, das es ein Rechteck ist. Die Höhe ist falach. Man kann die Höhe hier quasi ablesen. Gruß Caban [Die Antwort wurde nach Beitrag No.17 begonnen.]


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Chinqi
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  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

Also A = 1/2 |vektor a * vektor b| ist ja die Formel. Aber ich weiß nicht ganz, welche Vektoren ich nehmen muss. Kannst du mir bitte helfen?


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Caban
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  Beitrag No.21, eingetragen 2021-12-07

Hallo Grundsätzlich stimmt es. Gruß Caban [Die Antwort wurde nach Beitrag No.19 begonnen.]


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Chinqi
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  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

Die Vektoren aus denen ich das Vektorprodukt bilden muss, sind doch AB und BC oder nicht?


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Caban
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  Beitrag No.23, eingetragen 2021-12-07

Hallo Hier nicht nötig, da Rechteck: Für den Flächeninhalt musst du zwei Vektoren nehmen, die das Parallelogramm aufspannen, zum Beispiel AD und AB, aber wirklich die Vektoten. Aber das ein halb muss weg, es idt ja ein Paralellogramm kein Dreieck. Gruß Caban [Die Antwort wurde nach Beitrag No.21 begonnen.]


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Caban
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  Beitrag No.24, eingetragen 2021-12-07

Hallo Ja, AB und BC tuen es auch. Gruß Caban


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Chinqi
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  Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

Ach so, stimmt. Und was ist mit der Höhe. Du meintest ich kann diese einfach ablesen?


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Caban
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  Beitrag No.26, eingetragen 2021-12-07

Hallo Die Höhe ist der Abstand von Spitze und Grundfläche. Wie groß ist dieser Abstand? Gruß Caban


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Chinqi
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  Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

Ach so, einfach 6?


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Caban
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  Beitrag No.28, eingetragen 2021-12-07

Hallo Die Grundfläche kannst du doch so berechnen wie du, du musst aber vorher noch zeigen, dass die Grundfläche ein Rechteck ist. Die Grundfläche wären dann 50 Flächeneinheiten. Gruß Caban [Die Antwort wurde nach Beitrag No.26 begonnen.]


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Caban
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  Beitrag No.29, eingetragen 2021-12-07

Hallo Ja, die Höhe ist 6 Einheiten hoch.


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Chinqi
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  Beitrag No.30, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

Ok, danke. bei der Aufgabe: Vom Mittelpunkt M der Kante DS soll eine Strecke MP zu einem Punkt P auf der Kante BS eingezeichnet werden, die senkrecht zu BS verläuft. Gib eine Gleichung für die Gerade an, auf der die Strecke liegt und berechne die Länge der Strecke MP. habe ich Gleichung für Ebene BDS aufgestellen, und einer Geraden aufstellen, welche in der Ebene liegt. Also als Normalenvektor habe ich n = (-2 1 0). Und als Geradengleichung g:x = (1 0 0) + r(1 -2 0). Allerdings weiß ich jetzt nicht, was ich machen muss. Kannst du mir helfen?


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Caban
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  Beitrag No.31, eingetragen 2021-12-07

Hallo Das bringt hier nichts. Du kannst aber eine Ebenen aufstellen, die M enthält und zu BS senkrecht steht. Diese Ebene kannst du dann mit BS schneiden lassen. Aufgrund der besonderen Lage von BS lässt sich diese Ebenen ohne Rechnen aufstellen. Gruß Caban


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Chinqi
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  Beitrag No.32, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-07

M ist ja M(-0,5/-3/-3). oder?


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Caban
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  Beitrag No.33, eingetragen 2021-12-07

Hallo Die Z-Koordinate müsste 0 sein. Gruß Caban


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thureduehrsen
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  Beitrag No.34, eingetragen 2021-12-08

\quoteon(2021-12-07 22:55 - StrgAltEntf in Beitrag No. 17) \quoteon(2021-12-07 22:21 - thureduehrsen in Beitrag No. 9) einer der Eckpunkte der Grundfläche liegt direkt unter der Spitze, also kann das keine gerade Pyramide sein. Übersehe ich da etwas? \quoteoff Hallo thureduehrsen, warum soll das eine Begründung sein? Die Pyramide kann doch "schräg" im Koordinatensystem liegen, sodass zufällig die Spitze genau über einer der Ecken liegt. \quoteoff Eine vollständige Begründung ist das nicht, das stimmt. Da war ich zu schnell. Wenn wir aber beachten - die dritten Komponenten der Punkte A, B, C, D stimmen überein, d.h. die Grundfläche der Pyramide ist zur x-y-Ebene parallel, sie "steht" auf der x-y-Ebene, - und die Spitze liegt senkrecht obendrüber, weil die dritte Komponente von S größer ist als die dritte Komponente von B, dann, glaube ich, kommen wir durch. Welchen Weg der Lehrer im Sinn hat, würde mich durchaus interessieren... mfg thureduehrsen


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Caban
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  Beitrag No.35, eingetragen 2021-12-08

Hallo Ich glaube, der Lehrer hat den Weg mit dem Skalarprodukt im Sinn. Gruß Caban


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Wario
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  Beitrag No.36, eingetragen 2021-12-08

\quoteon(2021-12-07 21:57 - Chinqi im Themenstart) geg.: A(5/-2/-3) B(2/2/-3) C(-6/-4/-3) D(-3/-8/-3) und Spitze S(2/2/3) Wie kann ich begründen, dass es sich um eine schiefe Pyramide handelt? \quoteoff Man könnte es -im Allgemeinen- so machen: (0) Seien $\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}$ die Ortsvektoren der Punkte $A,B,C$ und bei weiteren Punkten entsprechend. (1) Bestimme die Normalform $ (\vec{x} -\vec{a})\cdot \vec{n} =0 ~\Leftrightarrow~ \vec{x}\cdot \vec{n} =d$ der Ebene, die die drei Punkte $A,B,C$ enthält; mit einem Normalenvektor $\vec{n}$, der z.B. in der Form $ \vec{n} =(\vec{b}-\vec{a})\times (\vec{c}-\vec{a})$ oder mit Hilfe eines LGS bestimmt werden kann. Prüfe hier ggf., ob auch der Punkt $D$ in dieser Ebene liegt. (2) Bestimme mit Hilfe der Geraden $\vec{x} = \vec{s}+t\vec{n}$, durch die Spitze $S$, die senkrecht auf der bestimmten Ebene steht, den Fußpunkt $F$ des Lotes von $S$ auf die Ebene, und zwar durch Einsetzen der Geradengleichung in o.g. Ebenengleichung, das heißt $\vec{f} =\vec{s} +\dfrac{d-\vec{s}\cdot \vec{n}}{\vec{n} \cdot \vec{n}} \vec{n}.$ Hinweis: Ich berechne $\vec{f} =\begin{pmatrix} \frac{106}{35} \\ -\frac{128}{35} \\ -\frac{9}{7} \end{pmatrix}.$ (3) Zeige nun, durch zuvorige Lösung der entsprechenden Schnittaufgabe, dass $F$ nicht mit dem ermittelten Schnittpunkt $E$ der Diagonalen durch $AC$ und $BD$ übereinstimmt. $ \begin{tikzpicture}[ scale=1.0, %x={(0,0,1cm)}, %y={(1cm,0,0)}, %z={(0,1cm)}, x={({-cos(45)*1cm}, {-sin(45)*1cm})}, y={(1cm, 0)}, z={(0cm,1cm)}, >=latex, font=\footnotesize, ] % Würfel \begin{scope}[text=blue] \coordinate[label=right:$A$] (A) at (5,2,-3); \coordinate[label=right:$B$] (B) at (2,2,-3); \coordinate[label=$C$] (C) at (-6,-4,-3); \coordinate[label=$D$] (D) at (-3,-8,-3); \end{scope} \coordinate[label=$S$] (S) at (2,2,3); \coordinate[label=below:$F$] (F) at (4787/1750, -7157/3500, -9/140); \draw[blue] (A) -- (B) -- (C) -- (D) --cycle; \draw[blue, dashed] (A) -- (C); \draw[blue, dashed] (B) -- (D); \foreach \P in {A,B,C,D} \draw[] (\P) -- (S); % Diagonalenschnittpunkt \path[name path=AC] (A) -- (C); \path[name path=BD] (B) -- (D); \path[name intersections={of=AC and BD, name=X}]; \coordinate[label=left:$E$] (E) at (X-1); \draw[red] (S) -- (F); %%% CoSy Richtungen %\begin{scope}[-latex] %\foreach \P/\s/\Pos in {(1,0,0)/x/above, (0,1,0)/y/right, (0,0,1)/z/right} %\draw[] (0,0,0) -- \P node[\Pos, pos=0.9,inner sep=2pt]{$\s$}; %\end{scope} %% KoSy \begin{scope}[help lines] \draw[->] (-5,0,0) -- (6,0,0) node[right]{$x$}; \draw[->] (0,-6,0) -- (0,3,0) node[above]{$y$}; \draw[->] (0,0,-7) -- (0,0,4) node[left]{$z$}; \end{scope} % %\foreach \x in {0.5,1,...,3.5} { %\draw[fill=white] (\x,0,0) circle (0.03); %\if\x2 \else \node[below] at (\x,0) {$\x$}; \fi }% Wert auslassen %\foreach \y in {0.5,1,...,2,1.5}{ %\draw[fill=white] (0,\y,0) circle (0.03); %\node[left] at (0,\y,0) {$\y$}; } %\foreach \z in {0.5,1,...,2,2.5}{ %\draw[fill=white] (0,0,\z) circle (0.03); %\node[right] at (0,0,\z) {$\z$}; } %% Punkte \foreach \P in {A, B, C, D, S, F, E} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1pt); \end{tikzpicture} $


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Wario
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  Beitrag No.37, eingetragen 2021-12-09

Bei der Aufgabe ist ein wenig die Sache, dass die schiefe Pyramide im wesentlichen für Pyramiden erklärt ist, deren Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist (oder kennt jmd. eine allgemeine Definition?). Hier dürfte stillschweigend davon ausgegangen werden, dass die Pyramide mit einem allgemeinen Viereck als Grundfläche als schief gilt, sofern ihre Höhe nicht durch die Strecke $|\vec{ES}|$ zwischen Diagonalenschnittpunkt $E$ und Spitze $S$ gegeben ist. Statt vom Diagonalenschnittpunkt könnte man auch vom Schwerpunkt der Grundfläche ausgehen, was etwa auch architektonisch mehr Sinn macht. Das macht die Aufgabe aber ungleich aufwendiger und dürfte daher eher nicht gewünscht sein.


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.38, eingetragen 2021-12-09

\quoteon(2021-12-09 08:47 - Wario in Beitrag No. 37) Bei der Aufgabe ist ein wenig die Sache, dass die schiefe Pyramide im wesentlichen für Pyramiden erklärt ist, deren Grundfläche ein regelmäßiges Vielecke ist (oder kennt jmd. ein allgemeine Definition?). \quoteoff Man könnte auch Sehnenvielecke betrachten, also Vielecke, bei denen die Ecken auf einem Kreis liegen. Eine Pyramide wäre dann schief/gerade, wenn die Verbindung von Spitze und Kreismittelpunkt (nicht) senkrecht zur Grundfläche steht.


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Wario
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  Beitrag No.39, eingetragen 2021-12-09

\quoteon(2021-12-09 11:49 - StrgAltEntf in Beitrag No. 38) \quoteon(2021-12-09 08:47 - Wario in Beitrag No. 37) Bei der Aufgabe ist ein wenig die Sache, dass die schiefe Pyramide im wesentlichen für Pyramiden erklärt ist, deren Grundfläche ein regelmäßiges Vielecke ist (oder kennt jmd. ein allgemeine Definition?). \quoteoff Man könnte auch Sehnenvielecke betrachten, also Vielecke, bei denen die Ecken auf einem Kreis liegen. Eine Pyramide wäre dann schief/gerade, wenn die Verbindung von Spitze und Kreismittelpunkt (nicht) senkrecht zur Grundfläche steht. \quoteoff Mein Ausgangspunkt war, dass ich die Definition für "schief" nur im Zusammenhang mit regelmäßigen Vielecken fand. Ich vermute, die Unterrichtsperson geht intuitiv davon aus, dass eine Pyramide mit allgemeiner Vierecksgrundfläche als "nicht senkrecht" gilt, sofern die Höhe von der Spitze nicht auf den Diagonalenschnittpunkt der Grundfläche fällt. Da müsste man ihn fragen, woher er das glaubt zu wissen. Bereits eine Fünfecksgrundfläche hat keinen Diagonalenschnittpunkt. Auch hat ein Vieleck im Allgemeinen keinen Inkreismittelpunkt, wohl aber, wie jede Fläche, einen Flächenschwerpunkt. Im Sinne einer allgemeinen Definition für "schiefe Pyramiden", die nicht nur für Sonderfälle gilt, wäre es also sinnvoll den Flächenschwerpunkt zu verwenden. \showon Graphen $ \pgfmathsetmacro{\r}{3} \begin{tikzpicture}[ font=\footnotesize, ] \fill[blue] circle[radius=1.5pt] coordinate[label=below:$M$](M);\draw[darkgray] (M) circle[radius=\r]; \draw[densely dashed] (M) -- (0:\r) coordinate[label=below:$$] (A); \draw[densely dashed] (M) -- (25:\r) coordinate[label=below:$$] (B); \draw[densely dashed] (M) -- (110:\r) coordinate[label=below:$$] (C); \draw[densely dashed] (M) -- (150:\r) coordinate[label=below:$$] (D); \draw[densely dashed] (M) -- (250:\r) coordinate[label=below:$$] (E); \draw[] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- (E) --cycle; \fill[red] (barycentric cs:A=1,B=1,C=1,D=1,E=1) circle(1.5pt) coordinate[label=$G$](G); %% Punkte \foreach \P in {A,...,E} \fill[] (\P) circle (1.5pt); \end{tikzpicture} $ https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52997_1_555555.png \showoff


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