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 Wie kann man den Kern einer linearen Abbildung bestimmen? |
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schrocatt
Junior 
Dabei seit: 08.12.2021
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 |  Themenstart: 2021-12-08
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Hi,
bei der Teilaufgabe (b) habe ich die Schwierigkeit erlebt, die genannte lineare Abb. zu erstellen wie f: R^3 -> R^3, (x,y,z) -> f((x,y,z)). Ich konnte das Bild f((x,y,z)) nicht finden und sogar kann ich den Kern von f in Abhängigkeit vom Parameter a nicht bestimmen. Seit 2 Tagen versuche ich die Aufgabe zu lösen und bisher bin ich mit dieser Aufgabe totall verwirrt und würde mich sehr freuen, wenn jemand mir eine ausführliche Lösung vorstellen könnte. Vielen Dank im Voraus!
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55212_2021-12-08_15_10_07-2021-INF-LA_U08.pdf_-_Adobe_Acrobat_Pro_DC.png
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nzimme10
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-08
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Hallo und willkommen hier im Forum! :)
Bei der Bestimmung des Kerns geht es einfach darum ein LGS zu lösen. Kannst du mir sagen welches LGS du dazu lösen musst?
LG Nico
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schrocatt
Junior
Dabei seit: 08.12.2021
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-08
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\quoteon(2021-12-08 15:34 - nzimme10 in Beitrag No. 1)
Hallo und willkommen hier im Forum! :)
Bei der Bestimmung des Kerns geht es einfach darum ein LGS zu lösen. Kannst du mir sagen welches LGS du dazu lösen musst?
LG Nico
\quoteoff
In Betracht von gegebenen Vektoren soll eine lineare Abbildung als
f(e_i)= v_i, i= {1,2,3} erstellt werden, deren Kern wir hier finden müssen. Ich kann nicht verstehen, welches LGS wir jetzt brauchen, um den Kern zu bestimmen? Mir ist es klar, dass wir den Kern einer Matrix A so finden : Ax = 0. Aber ich kann mir nicht vorstellen, um welches LGS es gehen soll?
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nzimme10
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-12-08
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
der Kern einer linearen Abbildung ist analog zu dem einer Matrix definiert. Sind $V$ und $W$ beliebige Vektorräume über einem Körper $K$ und ist $f\colon V\to W$ eine $K$-lineare Abbildung, dann definiert man
$$
\ker(f):=\lbrace v\in V\mid f(v)=0\in W\rbrace\subseteq V.
$$
Bei deiner Aufgabe b) sollst du nun zum Beispiel den Kern von $f_0$ bestimmen. Du sollst also alle Vektoren $x\in \mathbb R^3$ finden, so dass $f_0(x)=0\in \mathbb R^3$ gilt.
Schreibst du nun einen beliebigen Vektor $x$ als $x=(x_1,x_2,x_3)^t$, so gilt es also die Gleichung
$$
0=f(x)=f(x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3)=x_1f(e_1)+x_2f(e_2)+x_3f(e_3)=x_1v_1+x_2v_2+x_3v_3
$$
für $x_1,x_2,x_3$ zu lösen. Das ist nun einfach ein LGS mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten.
Hinweis: Abhängig von deinen Ergebnissen bei a) solltest du aber nicht einfach blind die 3 Kerne berechnen (was natürlich auch richtig wäre). Wenn du weißt, dass $v_1,v_2,v_3$ für ein bestimmtes $a$ linear unabhängig über $\mathbb R$ sind, dann kannst du sicher sofort sagen, was $\ker(f_a)$ in diesem Fall ist.
LG Nico\(\endgroup\)
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schrocatt
Junior
Dabei seit: 08.12.2021
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-08
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\quoteon(2021-12-08 16:08 - nzimme10 in Beitrag No. 3)
Hallo,
der Kern einer linearen Abbildung ist analog zu dem einer Matrix definiert. Sind $V$ und $W$ beliebige Vektorräume über einem Körper $K$ und ist $f\colon V\to W$ eine $K$-lineare Abbildung, dann definiert man
$$
\ker(f):=\lbrace v\in V\mid f(v)=0\in W\rbrace\subseteq V.
$$
Bei deiner Aufgabe b) sollst du nun zum Beispiel den Kern von $f_0$ bestimmen. Du sollst also alle Vektoren $x\in \mathbb R^3$ finden, so dass $f_0(x)=0\in \mathbb R^3$ gilt.
Schreibst du nun einen beliebigen Vektor $x$ als $x=(x_1,x_2,x_3)^t$, so gilt es also die Gleichung
$$
0=f(x)=f(x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3)=x_1f(e_1)+x_2f(e_2)+x_3f(e_3)=x_1v_1+x_2v_2+x_3v_3
$$
für $x_1,x_2,x_3$ zu lösen. Das ist nun einfach ein LGS mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten.
Hinweis: Abhängig von deinen Ergebnissen bei a) solltest du aber nicht einfach blind die 3 Kerne berechnen (was natürlich auch richtig wäre). Wenn du weißt, dass $v_1,v_2,v_3$ für ein bestimmtes $a$ linear unabhängig über $\mathbb R$ sind, dann kannst du sicher sofort sagen, was $\ker(f_a)$ in diesem Fall ist.
LG Nico
\quoteoff
Hallo Nico,
ich bin Ihnen sehr dankbar für Ihre ausführliche Lösung. Wenn es kein Problem wäre, darf ich Sie noch 2 Fragen stellen?:
1-) Falls der Parameter a weder gleich 1 noch gleich (-2) ist, dann entsteht keine Nullzeile, damit die Vektoren voneinander linear unabhängig sein können. In diesem Sinne, wie kann ich schnell bemerken, welchem Wert der Kern von z.B f_1 entspricht?
2-)"für $x_1,x_2,x_3$ zu lösen. Das ist nun einfach ein LGS mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten." Wie kann ich dieses LGS (x_1, x_2, x_3) mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten in den Sachkontext einziehen? Also wie kann ich dieses LGS heißen / bezeichnen?
Ich habe keine Idee, was (z.B) f(e_1) sich ergibt. Nach meinem Wissen soll f(e_1) sich den Vektor v_1 = (3 , 2 , 1) ergeben, aber ich bin nicht sicher.
Vielen Dank für Ihre Antwort im Voraus.
LG Ceren
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schrocatt
Junior 
Dabei seit: 08.12.2021
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-08
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\quoteon(2021-12-08 16:08 - nzimme10 in Beitrag No. 3)
Hallo,
der Kern einer linearen Abbildung ist analog zu dem einer Matrix definiert. Sind $V$ und $W$ beliebige Vektorräume über einem Körper $K$ und ist $f\colon V\to W$ eine $K$-lineare Abbildung, dann definiert man
$$
\ker(f):=\lbrace v\in V\mid f(v)=0\in W\rbrace\subseteq V.
$$
Bei deiner Aufgabe b) sollst du nun zum Beispiel den Kern von $f_0$ bestimmen. Du sollst also alle Vektoren $x\in \mathbb R^3$ finden, so dass $f_0(x)=0\in \mathbb R^3$ gilt.
Schreibst du nun einen beliebigen Vektor $x$ als $x=(x_1,x_2,x_3)^t$, so gilt es also die Gleichung
$$
0=f(x)=f(x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3)=x_1f(e_1)+x_2f(e_2)+x_3f(e_3)=x_1v_1+x_2v_2+x_3v_3
$$
für $x_1,x_2,x_3$ zu lösen. Das ist nun einfach ein LGS mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten.
Hinweis: Abhängig von deinen Ergebnissen bei a) solltest du aber nicht einfach blind die 3 Kerne berechnen (was natürlich auch richtig wäre). Wenn du weißt, dass $v_1,v_2,v_3$ für ein bestimmtes $a$ linear unabhängig über $\mathbb R$ sind, dann kannst du sicher sofort sagen, was $\ker(f_a)$ in diesem Fall ist.
LG Nico
\quoteoff
Hallo Nico,
noch eine kleine Frage: gibt es bei dieser Aufgabe irgendeine Berechnung mit Abbildungsmatrix / Darstellungsmatrix zu tun?
LG Ceren
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Bozzo
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Dabei seit: 11.04.2011
Mitteilungen: 2300
Wohnort: Franken
 | Beitrag No.6, eingetragen 2021-12-09
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Ja, es hat mit der Darstellungsmatrix zutun.
Betrachten wir f0. Es ist richtig, dass \[f_0(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\] ist.
Was sind f0(e2) und f0(e3)?
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schrocatt
Junior
Dabei seit: 08.12.2021
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-10
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\quoteon(2021-12-09 21:22 - Bozzo in Beitrag No. 6)
Ja, es hat mit der Darstellungsmatrix zutun.
Betrachten wir f0. Es ist richtig, dass \[f_0(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\] ist.
Was sind f0(e2) und f0(e3)?
\quoteoff
Hi,
jetzt bin ich ein bisschen verwirrt. warum lautet f_0(e1) = f_0((1,0,0)= (1,2,3) sondern nicht (3,2,1) ?
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10906
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.8, eingetragen 2021-12-10
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Hallo,
\quoteon(2021-12-10 11:22 - schrocatt in Beitrag No. 7)
jetzt bin ich ein bisschen verwirrt. warum lautet f_0(e1) = f_0((1,0,0)= (1,2,3) sondern nicht (3,2,1) ?
\quoteoff
das war sicherlich ein Zahlendreher von Bozzo, wie er immer einmal passieren kann. Es sollte doch aber klar sein, was gemeint ist?
\quoteon(2021-12-08 18:34 - schrocatt in Beitrag No. 5)
noch eine kleine Frage: gibt es bei dieser Aufgabe irgendeine Berechnung mit Abbildungsmatrix / Darstellungsmatrix zu tun?
\quoteoff
Natürlich. Mann muss nur den Zusammenhang zwischen der Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung und den Bildern der Basisvektoren kennen. Und genau darauf wollte dich Bozzo mit seiner Antwort auch schon aufmerksam machen...
Gruß, Diophant
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schrocatt
Junior
Dabei seit: 08.12.2021
Mitteilungen: 10
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-10
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\quoteon(2021-12-10 13:00 - Diophant in Beitrag No. 8)
Hallo,
\quoteon(2021-12-10 11:22 - schrocatt in Beitrag No. 7)
jetzt bin ich ein bisschen verwirrt. warum lautet f_0(e1) = f_0((1,0,0)= (1,2,3) sondern nicht (3,2,1) ?
\quoteoff
das war sicherlich ein Zahlendreher von Bozzo, wie er immer einmal passieren kann. Es sollte doch aber klar sein, was gemeint ist?
\quoteon(2021-12-08 18:34 - schrocatt in Beitrag No. 5)
noch eine kleine Frage: gibt es bei dieser Aufgabe irgendeine Berechnung mit Abbildungsmatrix / Darstellungsmatrix zu tun?
\quoteoff
Natürlich. Mann muss nur den Zusammenhang zwischen der Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung und den Bildern der Basisvektoren kennen. Und genau darauf wollte dich Bozzo mit seiner Antwort auch schon aufmerksam machen...
Gruß, Diophant
\quoteoff
Hallo Diophant,
vielen Dank für Ihre Anmerkungen. Trotzdem konnte ich mir nicht vorstellen, warum wir eine Zahlendrehung bei f_0(e1) (oder beliebige f_a(e_i)) auftragen sollen? Ist diese Anwendung von Zahlendrehung ein Muss, oder nur ein Trick, um effizienter zu berechnen?
LG Ceren
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10906
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.10, eingetragen 2021-12-10
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\quoteon(2021-12-10 14:01 - schrocatt in Beitrag No. 9)
vielen Dank für Ihre Anmerkungen. Trotzdem konnte ich mir nicht vorstellen, warum wir eine Zahlendrehung bei f_0(e1) (oder beliebige f_a(e_i)) auftragen sollen?...
\quoteoff
Sorry, das war eventuell missverständlich. Ein Zahlendreher ist im Deutschen eine Redensart die in etwa beschreibt, dass man die richtigen Zahlen meint, aber die falschen aufschreibt. Oder so ähnlich.
Also natürlich ist
\[f_a(e_1)=\bpm 3\\2\\1 \epm\]
(für alle \(a\in \IR\)).
Wenn dir nicht klar ist, wie du hier zu einer Darstellungsmatrix kommst, dann rechne doch einmal:
\[A=\bpm 1&2&3 \\ 4&5&6 \\ 7&8&9 \epm\]
Und jetzt berechne einmal die Matrixprodukte \(A\cdot \vec{e}_1\), \(A\cdot \vec{e}_2\) und \(A\cdot \vec{e}_3\). Mache dir klar, dass die Resultate kein Zufall sind und wende das auf die Aufgabe hier an.
PS: wir duzen uns hier eigentlich generell.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Bozzo
Senior 
Dabei seit: 11.04.2011
Mitteilungen: 2300
Wohnort: Franken
| Beitrag No.11, eingetragen 2021-12-10
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\quoteon(2021-12-10 11:22 - schrocatt in Beitrag No. 7)
\quoteon(2021-12-09 21:22 - Bozzo in Beitrag No. 6)
Ja, es hat mit der Darstellungsmatrix zutun.
Betrachten wir f0. Es ist richtig, dass \[f_0(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\] ist.
Was sind f0(e2) und f0(e3)?
\quoteoff
Hi,
jetzt bin ich ein bisschen verwirrt. warum lautet f_0(e1) = f_0((1,0,0)= (1,2,3) sondern nicht (3,2,1) ?
\quoteoff
Ich meinte natürlich \[f_0(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix},\] wie Diophant auch schon richtiggestellt hat.
Was sind nun f0(e2) und f0(e3)?
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