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Mathematik » Logik, Mengen & Beweistechnik » Äquivalenzumformung
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Schule Äquivalenzumformung
juergenX
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  Themenstart: 2021-12-08

Es sei: $\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow ad=bc \Leftrightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{d}$. Das sind alles Äquivalenzumformungen falls $\forall a,b,c,d \in N\setminus{0}$. Was ist aber, falls (*)$\displaystyle \frac{a}{b} \ne \frac{c}{d}$? Wann ist z.B. $\displaystyle \forall a,b,c,d \in Z \setminus{0},\frac{a}{c} \gt \frac{b}{d}$, wenn beispielsweise a,b,c positiv und d negativ ist? Kann man eine generelle Ausage ohne Fallunterscheidung machen über(*) $\displaystyle \frac{a}{c} \gt \frac{b}{d}$? oder $\displaystyle \frac{a}{c} \lt \frac{b}{d}$? Ansononsten mueste man 8 Faelle unterscheiden.


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Caban
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-08

Hallo Wenn a/c>b/d, dann gilt a*c*d^2>b*c^2*d Gruß Caban


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tactac
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Mitteilungen: 2329
  Beitrag No.2, eingetragen 2021-12-08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\) Wenn $b,c,d \ne 0$, ist $\frac ab \gt \frac cd$ zwar nicht äquivalent zu $$\frac ac \gt \frac bd,$$ aber zu etwas ähnlichem, nämlich $$\frac bc\frac ac > \frac bc \frac bd.$$ (Man multipliziere beide Seiten mit $\frac{b^2}{c^2}$, was ja positiv ist.) Je nach Vorzeichen von $\frac bc$ dreht sich das > um oder nicht, wenn man nun noch beide Seiten durch $\frac bc$ dividiert.\(\endgroup\)


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juergenX
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-11

Danke! ich woltte die eigentliche Form der abc Vermutung, siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Abc-Vermutung (1)$\displaystyle c < K_{\varepsilon }\,(\mathrm {rad} (abc))^{1+\varepsilon }$, oder $\displaystyle log (c) < log K_{\varepsilon}+log (\mathrm {rad} (abc))*(1+\varepsilon)$. Umformen und komme auf : $\displaystyle \frac {log (c)} {log (\mathrm {rad} (abc))} < \frac {log K_{\varepsilon}} {log (\mathrm {rad} (abc))}*(1+\varepsilon) $ oder auch : (2):$\displaystyle \frac {log (c) - {log K_{\varepsilon}}} {log (\mathrm {rad} (abc))} < 1+\varepsilon $. so dass man für alle $\varepsilon >0$ ein $K > 0$ findet. Nachweislich gilt dies Ungleichung nicht für $\varepsilon = 0$. Ich war nicht sicher, ob alle Umformumgen der Ungleichungen (1) bis (2) äquivalent sind.


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