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Analysis » Funktionalanalysis » Schwache Ableitung der charakteristischen Funktion
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Universität/Hochschule Schwache Ableitung der charakteristischen Funktion
Bayes2021
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  Themenstart: 2021-12-09

Hallo zusammen, ich sitze vor folgender Aufgabe: Es sei \(\Omega \subset \mathbb{R}^{n}\) eine messbare Teilmenge mit positivem Lebesgue-Maß \(\lambda(\Omega)>0\). Existiert eine schwache Ableitung für die charakteristische Funktion \(\chi_{\Omega}\)? Damit es eine schwache Ableitung gibt, müsste es eine Funktion \(g \in L^{1}_{loc}(\mathbb{R}^{n})\) geben, so dass $$\int_{R^{n}}\chi_{\Omega}(x)\partial_{i}\varphi(x)\mathrm{d}x=-\int_{R^{n}}g(x)\varphi(x)\mathrm{d}x$$ für alle \(\varphi \in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}^{n})\) erfüllt ist. Da die schwache Ableitung eindeutig ist, kann ich zeigen, dass es keine schwache Ableitung gibt, in dem ich zwei verschiedene Funktionen finde, welche die Gleichung erfüllen. Sei dazu \(\varphi_{1} \in C_{0}^{\infty}\) mit \(supp(\varphi_{1}) \cap \Omega = \emptyset\). Dann folgt $$\int_{R^{n}}\chi_{\Omega}(x)\partial_{i}\varphi_{1}(x)\mathrm{d}x=\int_{\Omega}\partial_{i}\varphi_{1}(x)\mathrm{d}x=\int_{\Omega}0\mathrm{d}x=0$$, so dass \(g_{1}(x)=0\) für \(x \in \Omega\) eine schwache Ableitung ist. Sei nun \(\varphi_{2} \in C_{0}^{\infty}\) mit \(supp(\varphi_{2}) \subset \Omega\). Dann folgt $$\int_{R^{n}}\chi_{\Omega}(x)\partial_{i}\varphi_{2}(x)\mathrm{d}x=\int_{supp(\varphi_{2})}\partial_{i}\varphi_{2}(x)\mathrm{d}x$$. Leider komme ich an der Stelle nicht mehr weiter, da ich das Integral nicht weiter auflösen kann. Hat jemand einen Tipp für mich? Viele Grüße Bayes 2021


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capstrovor
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-09

Kurzer Denkanstoß zu deiner Beweislogik: Wieso beweist die Existenz von zwei Funktionen \(g_1,g_2 \in L^1 (\mathbb{R}^n)\) mit \(g_1 \neq g_2\) und \( \int \chi_\Omega(x)\partial_i \phi_j(x) dx = -\int g_j(x) \phi_j(x) dx\) für \(j=1,2\) und \(\phi_1,\phi_2 \in C^\infty_0(\mathbb{R}^n)\), dass es kein (eindeutiges) \(g \in L^1(\mathbb{R}^n)\) gibt, sodass \( \int \chi_\Omega\partial_i \phi_i dx = -\int g(x) \phi(x) dx\) für alle \(\phi \in C^\infty_0(\mathbb{R}^n)\)? So wie ich es verstehe (und ich kenne mich hier nicht gut aus, deswegen verstehe mein Kommentar eher als Frage), ist die Ableitung nur im Sinne einer Distribution eindeutig, also \(\chi_\Omega'[\phi] = g[\phi]\ \forall \phi\in C^\infty_0\). Nur weil du zwei Funktionen findest, die zwei spezielle Testfunktionen auf die Ableitung von \(\chi_\Omega\) abbilden, sind diese zwei Funktionen noch keine schwache Ableitungen.


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Bayes2021
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-09

Hallo capstrover, stimmt, ich brauche zwei Funktionen \(g_{1} \neq g_{2} \) welche jeweils schwache Ableitungen sind (also die Bedingung für alle Testfunktionen erfüllen). Jetzt ist die Frage wo ich diese herbekomme. Oder muss ich da doch anders rangehen? Viele Grüße Bayes2021


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capstrovor
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-12-09

Wie gesagt, ich kenne mich nicht gut genug aus um dir hier wirklich weiterzuhelfen (bin nur ein Physikstudent, habe noch nicht mal wirklich eine Maßtheorie VL genossen ;)), aber hier zwei Bemerkungen die dir vielleicht weiterhelfen: 1. Intuitiv würde ich sagen, der Ansatz über die Eindeutigkeit ist nicht sehr zielführend. Wenn es keine solche Funktion \(g\) mit dieser Eigenschaft gibt, dann findest du erst recht nicht zwei davon. Falls du schon mal eine ähnliche Aufgabe so gelöst hast, dann vergiss natürlich was ich gesagt habe. 2. Ein einfaches konkretes Beispiel wäre \(n=1,\ \Omega = [a,b]\). Dann ist die char. Funktion einfach das Produkt von zwei Heaviside-Distributionen: \(\chi(x) = \Theta(x-a)\cdot\Theta(b-x)\). Dieses \(\chi\) hätte also eine Ableitung. Das heißt, falls die Aussage tatsächlich falsch ist, dann sind die von dir gegebenen Forderungen an \(\Omega\) zu schwach, um immer eine Ableitung von \(\chi\) zu finden. Das wäre vielleicht mal ein Anhaltspunkt. Wieso denkst du eigentlich, dass die Aussage nicht gilt? Sorry dass ich nicht weiter helfen kann. LG Sam


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sonnenschein96
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-12-09

Hallo Bayes2021, ob \(\chi_\Omega\) eine schwache Ableitung besitzt, hängt natürlich von \(\Omega\) ab. \(\chi_{\mathbb{R}^n}\) hat z.B. die schwache Ableitung \(0\). \(\chi_{[a,b]}\) aus dem vorigen Beitrag hat sicherlich keine schwache Ableitung. Ich denke es gilt folgendes: Für ein messbares \(\Omega\subseteq\mathbb{R}^n\) hat \(\chi_\Omega\) genau dann eine schwache Ableitung, wenn \(\lambda^n(\Omega)=0\) oder \(\lambda^n(\mathbb{R}^n\setminus\Omega)=0\) (also \(\chi_\Omega=0\) f.ü. oder \(\chi_\Omega=1\) f.ü.). In diesem Fall ist die schwache Ableitung \(0\). Die Rückrichtung ist trivial. Für die Hinrichtung kannst Du denke ich zeigen, dass angenommen \(\chi_\Omega\) besitzt eine schwache Ableitung, \(D\chi_\Omega=0\) f.ü. auf \(\{\chi_\Omega=1\}=\Omega\) und auf \(\{\chi_\Omega=0\}=\mathbb{R}^n\setminus\Omega\) (gilt allgemein auf Niveaumengen). Damit muss \(D\chi_\Omega=0\) f.ü. und daher ist \(\chi_\Omega=0\) f.ü. oder \(\chi_\Omega=1\) f.ü..


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