| |
| Autor |
 Eigenschaften Parabel |
|
Abel
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 05.11.2005
Mitteilungen: 117
 |  Themenstart: 2021-12-21
|
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/10114_Parabel_M_A_MA_Tangente_in_A.png
Zu dem Bild erst einmal:
Wie kann ich die Farben konvertieren, so daß ich einen weißen Hintergrund erhalte, um den Funktionsgraphen besser sehen zu können. Das Original hatte jedenfalls einen weißen Hintergrund.
Sehr gerne hätte ich das Bild im fedgo (Formeleditor) erstellt, aber das habe ich leider nicht geschafft. Wenn es nicht zuviel Arbeit ist, kann mir jemand Hilfestellung für den zu erstellenden fedgo Code geben.
In dem Bild ist eine Parabel, die von einer Geraden geschnitten wird, dargestellt. Die Sehne B_1B_2 wird vom Punkt M halbiert. Durch den Punkt M wird eine Parallele zur x-Achse gezeichnet. Die Parallele und die Parabel schneiden sich im Punkt A. Wenn ich den Punkt M am Punkt A spiegele, erhalte ich den Punkt M'. Im Punkt M' schneiden sich die Tangenten an die Parabel.
Ist der Schnittpunkt der Tangenten immer mit dem Punkt M' (Spiegelung von M an A) identisch?
Warum halbiert der Schnittpunkt der Parallelen mit dem Funktionsgraphen A die Strecke MM'?
Für Lösungshinweise bin ich dankbar.
Gibt es Internetseiten, die ähnliche (einfache) Kegelschnittaufgaben behandeln?
|
 Profil
|
Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10906
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-21
|
Hallo Abel,
deine beiden Fragen rund um Parabeltangenten kann man beide bejahen und die Aussagen sollten sich letzendlich auf die sog. Brennpunkt-Eigenschaft der Parabel zurückführen lassen. Hier mal ein Link zum entsprechenden Abschnitt des Wikipedia-Artikels zu Parabeln.
Wie man beim Beweisen konkret vorgeht, hängt ja auch noch davon ab, von welcher Parabeldefinition man ausgeht.
Zu deiner Frage nach dem Hintergrund deines Bild-Uploads: beim Erstellen deines Bilds hast du irgendein Tool/Programm benutzt, was den Hintegrund transparent lässt (das PNG-Format unterstützt das ja auch). Ich habe es gerade selbst getestet, indem ich eine solche PNG-Datei erstellt und hier hochgeladen habe: der MP wandelt transparante Elemente in Schwarz um (zumindest bei PNG-Dateien, bei anderen Formaten funktioniert es nämlich oder hat zumindest in der Vergangenheit funktioniert).
Von daher musst du schauen, wo in deinem Workflow das passiert ist. Am einfachsten ist es immer, solche Bilder auf dem PC als Screenshot zu erstellen, dabei wird normalerweise ein weißer Hintergrund auch als weiß gespeichert. Zumindest bei den Tools, über die ich verfüge.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Funktionsuntersuchungen' in Forum 'Geometrie' von Diophant]
|
Profil
|
Abel
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 05.11.2005
Mitteilungen: 117
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-21
|
Hallo Diophant,
herzlichen Dank für Deine Antwort.
Ich habe jetzt mehrmals versucht, ein png-Dokument mit farbigem Hintergrund hochzuladen. Das Ergebnis war trotzdem immer noch unverändert (schwarz).
Ich hatte einen Screenshot in eine Datei gespeichert (unter thumps.db). Dieses Dateiformat kann von Matheplanet nicht heruntergeladen werden. Bekomme ich den Screenshot irgendwie anders nach Matheplanet?
Wie kann ich jetzt weiterverfahren?
Könntest Du mir bitte eine einfache Parabeldefinition vorschlagen, mit der ich arbeiten kann, um einen Anfang zu bekommen? Ich kenne bisher nur Definition y²=2x. Diese meintest Du sicher nicht?
Bisher konnte ich mit Hilfe von Wikipedia verstehen, daß die Mittelpunkte aller Sehnen auf der Mittelparallelen liegen.
gruß,
Abel
|
Profil
|
Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10906
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.3, eingetragen 2021-12-21
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
zur Definition der Parabel: das eine ist die algebraische Definition als quadratische Form oder im Extremfall einfach als quadratische Funktion.
Daneben ist die zweite (bzw. historisch gesehen die erste) übliche Definition die geometrische:
Die Parabel ist die Summe aller Punkte, die von einem Brennpunkt F und einer Leitgeraden l gleich weit entfernt sind.
Du kannst mit beiden Definitionen arbeiten. Im Fall der algebraischen Definition wird man einen solchen Sachverhalt am besten im Koordinatensystem, also per analytischer Geometrie und rechnerisch nachweisen.
Es geht aber auch komplett per geometrischer Argumentation. Da muss ich aber auch nochmal drüber nachdenken, das ist bei mir leider auch ziemlich bruchstückhaftes Wissen...
Die rechnerische Variante dürfte darüberhinaus die einfachere sein. Ich würde dabei übrigens mit der Funktion \(y=x^2\) arbeiten. Das kann man, wie man so schön sagt, ohne Beschränkung der Allgemeinheit tun. Denn man kann jede beliebige Parabel durch eine affine Abbildung aus der Normalparabel gewinnen. Und solche Teilverhältnisse (entlang einer Geraden) sind unter affinen Abbildungen invariant.
\quoteon(2021-12-21 19:01 - Abel in Beitrag No. 2)
Ich habe jetzt mehrmals versucht, ein png-Dokument mit farbigem Hintergrund hochzuladen. Das Ergebnis war trotzdem immer noch unverändert (schwarz).
\quoteoff
Mit welcher Software machst du das denn? Was auf dem MP ankommt ist eben definitiv eine PNG-Datei, deren Hintergrund eigentlich transparent ist, hier aber schwarz dargestellt wird. Bietet deine Softwrae beim Speichern vielleicht mehrere Dateiformate an? Falls vorhanden könntest du das JPG-Format auswählen. Das kann der MP auch lesen, und dieses Format kennt keine Transparenz. Alternativ könntest du auch nachträglich mit einem Fotobetrachter o.ä. vom PNG ins JPG-Format konvertieren.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
|
Profil
|
Wario
Aktiv 
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 1324
| Beitrag No.4, eingetragen 2021-12-21
|
\quoteon(2021-12-21 19:01 - Abel in Beitrag No. 2)
Ich habe jetzt mehrmals versucht, ein png-Dokument mit farbigem Hintergrund hochzuladen. Das Ergebnis war trotzdem immer noch unverändert (schwarz).
\quoteoff
Mutmaßlich geht es zwar irgendwie einfacher in der verwendeten Software, aber Du könntest transparente Hintergründe mittels ghostscript weiß machen; irgendwie so:
\sourceon ghostscript
gs -sOutputFile=WeiszerHintergrund.png -sDEVICE=png16m MeinBild.png
\sourceoff
|
Profil
|
Abel
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 05.11.2005
Mitteilungen: 117
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-22
|
Hallo,
danke für die Beiträge. Ich denke, wir müssen die Abbildung erst einmal so lassen. In einem extra Eintrag im Forum, den ich starten muß, muß ich das Problem nochmals aufgreifen.
Eigenschaften von Parabeln:
Um die angesprochenen Eigenschaften einer Parabel zu beweisen, wären der einfachste Weg erst einmal der beste, um einen solchen Beweis zu verstehen.Vielleicht erst einmal für einen Mittelstufenschüler ohne Taschenrechnerkenntnisse. (Falls das möglich ist?).
Schwierigere Beweise könnten und sollten dann folgen, so daß ich dann auch besser die verlinkte Wikipedia-Seite verstehen kann.
gruß,
abel
|
Profil
|
Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10906
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.6, eingetragen 2021-12-22
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Abel,
\quoteon(2021-12-22 09:06 - Abel in Beitrag No. 5)
Eigenschaften von Parabeln:
Um die angesprochenen Eigenschaften einer Parabel zu beweisen, wären der einfachste Weg erst einmal der beste, um einen solchen Beweis zu verstehen.Vielleicht erst einmal für einen Mittelstufenschüler ohne Taschenrechnerkenntnisse. (Falls das möglich ist?).
\quoteoff
Meinst du jetzt den Beweis der beiden Sachverhalte aus dem Themenstart? Ich skizziere dir einmal einen Weg, wie man das analytisch machen könnte. Das ist allerdings - unahbhängig von der gewählten Methode - eher Oberstufen- als Mittelstufenstoff.
Wir wählen o.B.d.A. den Graphen der Funktion \(f(x)=x^2\) und die Gleichung einer Sekante g mit \(g(x)=m\cdot x+c\). Wir fordern noch \(c>-m^2/4\), damit es überhaupt zwei Schnittpunkte gibt und die auftretenden Wurzeln somit definiert sind.
(Insbesondere soll das ja ein allgemeingültiger Beweis werden, also können wir nicht mit Zahlen rechnen und den TR stecken lassen...)
Schneide die Sekante mit der Parabel durch Gleichsetzen und berechne die Koordinaten beider Schnittpunkte (wir benötigen sowohl die x- als auch die y-Koordinate).
Die Ableitung der Normalparabel ist bekanntlich \(f'(x)=2x\). Das verwenden wir hier, um in diesen Schnittpunkten die Tangentensteigungen \(m_1\) und \(m_2\) zu berechnen. Mit der Punkt-Steigungsform berechnen wir so die Gleichungen beider Tangenten. Das sieht in etwa so aus:
\[t_1:\quad y=f'(x_1)\cdot(x-x_1)+f(x_1)=2x_1\cdot(x-x_1)+x_1^2=\dotsc\]
(Darin ist \(x_1\) die x-Koordinate eines der beiden Schnittpunkte zwischen Parabel und Sekante.)
Setze die beiden so erhaltenen Tangentengleichungen gleich, um den Schnittpunkt M' der beiden Tangenten zu berechnen. Auch hier benötigen wir wiederum x- und y-Koordinate.
Berechne den Mittelpunkt M zwischen den beiden Schnittpunkten Sekante-Parabel.
Berechne den Schnittpunkt A zwischen der Strecke \(\overline{MM'}\) und der Parabel (das geht leichter, als es aussieht. Hier interessiert uns insbesondere die y-Koordinate).
Berechne die Steigung der Tangente an die Parabel in diesem Punkt A (hier reicht die Steigung, die Gleichung der Tangente benötigen wir nicht).
Zu guter letzt: berechne die Abstände \(\overline{MA}\) und \(\overline{AM'}\), sie sollten gleich sein.
Zur Kontrolle einige Resultate in der folgenden Show-Box:
\showon Einige Lösungen
- Alle drei Punkte M, A und M' haben die x-Koordinate \(x=\frac{m}{2}\)
- Die Abstände \(\overline{MA}\) und \(\overline{AM'}\) sind:
\[\overline{MA}=\overline{AM'}=\frac{m^2}{4}+c\]
- Die Tangente in A hat die Steigung \(m\) und ist somit parallel zu unserer Sekante.
\showoff
Das ist zugegebenermaßen recht viel an Rechenarbeit, aber vom Schwierigkeitsgrad her auf jeden Fall noch Schulmathematik. Damit wären diese beiden Sachverhalte aus dem Themenstart bewiesen:
\quoteon(2021-12-21 14:12 - Abel im Themenstart)
Ist der Schnittpunkt der Tangenten immer mit dem Punkt M' (Spiegelung von M an A) identisch?
Warum halbiert der Schnittpunkt der Parallelen mit dem Funktionsgraphen A die Strecke MM'?
\quoteoff
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
|
Profil
|
Abel
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 05.11.2005
Mitteilungen: 117
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-22
|
Der Lösungsweg scheint logisch zu sein.
Also, ich fange einmal ganz langsam an und sehe, daß mein Vorhaben doch ein schwieriges Unterfangen ist:
f=x²
g=m*x+c
Schnittpunkt:
x²=m*x+c
x²-m*x-c=0
x_1=(m + sqrt(m²+ 4c))/2; y_1=(m + sqrt(m²+ 4c))²/4
x_2=(m + sqrt(m²- 4c))/2; y_2=(m - sqrt(m²+ 4c))²/4
Tangentengleichungen:
t_1: y= (m + sqrt(m²+ 4c))*(x-(m + sqrt(m²+ 4c))+ (m + sqrt(m²+ 4c))²/4
t_2: y= (m - sqrt(m²- 4c))*(x-(m - sqrt(m²- 4c))+ (m - sqrt(m²- 4c))²/4
Geht es nicht irgendwie doch einfacher? Während des Rechnens fühle ich mich immer unsicher und weiß nicht, ob ich noch auf dem richtigen Pfad bin.
Könnte ich vielleicht irgendwie hoffen, daß sich die Sache irgendwann vereinfacht? Wann könnte diese Stelle kommen? Habe ich vielleicht irgendetwas übersehen?
Soweit bin ich erst einmal gekommen.
Jetzt müssen beide Tangenten zum Schnitt gebracht werden. (Gleichsetzen) Das würde noch unübersichtlicher werden.
Für weitere Ratschläge bin ich dankbar.
gruß,
abel
|
Profil
|
Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10906
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.8, eingetragen 2021-12-22
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
Deine Resultate scheinen bis hierher richtig zu sein. Es ist nur so ohne \(\LaTeX\) oder Formeleditor sehr mühsam zu lesen.
Die Tangentengleichungen sollte man zweckmäßigerweise noch derart umformen, dass man die Klammer jeweils ausmultipliziert und die Achsenabschnitte zusammenfasst. Das erleichtert die weitere Rechnung.
\quoteon(2021-12-22 18:56 - Abel in Beitrag No. 7)
Könnte ich vielleicht irgendwie hoffen, daß sich die Sache irgendwann vereinfacht? Wann könnte diese Stelle kommen? Habe ich vielleicht irgendetwas übersehen?
\quoteoff
Ab dem Moment, wenn du die Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Tangenten hast (also in deiner Version des Punkts M'). In dem Moment sieht man, dass in diesem Fall die Punkte M', A und M die gleiche x-Koordinate haben und somit auf einer senkrechten Geraden liegen.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
|
Profil
|
Abel
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 05.11.2005
Mitteilungen: 117
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-22
|
f=x²
g=m*x+c
Schnittpunkt:
x²=m*x+c
x²-m*x-c=0
x_1=(m + sqrt(m²+ 4c))/2; y_1=(m + sqrt(m²+ 4c))²/4
x_2=(m - sqrt(m²+ 4c))/2; y_2=(m - sqrt(m²+ 4c))²/4
Tangentengleichungen:
f(x)=x²
f'(x)=2*x
t1:y=f′(x_1)⋅(x−x_1)+f(x_1)=2*x_1⋅(x−x_1)+(x_1)²
t_1: y= (m + sqrt(m²+ 4c))*(x-(m + sqrt(m²+ 4c))+ (m + sqrt(m²+ 4c))²/4
t2:y=f′(x_2)⋅(x−x_2)+f(x_2)=2*x_2⋅(x−x_2)+(x_2)²
t_2: y= (m - sqrt(m²+ 4c))*(x-(m - sqrt(m²+ 4c))+ (m - sqrt(m²+ 4c))²/4
Kurze Verbesserung, morgen werde ich weiterrechnen.
Dein Lösungshinweis ist super. Jetzt kann ich mir vorstellen, worauf es darauf ankommt.
|
Profil
|
Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10906
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.10, eingetragen 2021-12-22
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
wie gesagt: deine Resultate passen. Ich spendiere mal noch die im vorigen Beitrag angesprochenen Umformungen:
\[\ba
t_1:\quad y&=\left(m+\sqrt{m^2+4c}\right)\cdot x-\frac{m^2}{2}-\frac{m}{2}\cdot\sqrt{m^2+4c}-c\\
\\
t_2:\quad y&=\left(m-\sqrt{m^2+4c}\right)\cdot x-\frac{m^2}{2}+\frac{m}{2}\cdot\sqrt{m^2+4c}-c
\ea\]
So ist es nach dem Gleichsetzen einfacher, nach x aufzulösen.
Um nicht zu arg anzugeben: ich habe das per CAS gerechnet, da hat man dann natürlich leicht Reden was solche Umformungen angeht. 😉
Gruß, Diophant \(\endgroup\)
|
Profil
|
Abel
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 05.11.2005
Mitteilungen: 117
| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-23
|
Hallo Diophant,
es hat ein wenig gedauert, bis ich die Nützlichkeit Deiner umgestellten Tangentengleichungen erkannt habe. Wenn ich mit diesen den Schnittpunkt der Tangenten berechne, erhalte ich S(m/2; c).
Der Schnittpunkt S ist identisch mit dem Punkt M' in meiner Zeichnung. S hat auch die gleiche y-Koordinate wie M. ...
1. Ich erkenne noch nicht die Aussagekraft des Ergebnisses S(m/2; c). (m/2: die halbe Steigung der Geraden, c: y-Abschnitt der Geraden)
2. Wäre es besser jetzt mit CAS umgehen zu lernen? Stellt CAS automatisch mein errechnetes Ergebnis für t_1 und t_2 um, so daß ich die bessere Version, die Du mir gesendet hast, erhalte?
3. Um meine Ergebnisse besser darstellen zu können, muß ich mit dem Formel-Editor üben. Gibt es irgendwie Übungen für den Umgang mit dem Formel-Editor? Wahrscheinlich muß ich mir die beiden Seiten
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/print.php?sid=1728
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/fed/mpr.php?lma=1
, die ich gerade entdeckt habe, ansehen.
Dankeschön für Deine Hilfe und schöne Feiertage.
Ich bin in den nächsten Tagen sicher im Netz, um nicht die Fortsetzung meiner spannenden Rechenaufgabe zu verpassen.
BIS DEMNÄCHST AUF DIESEM BILDSCHIRM
gruß,
abel
|
Profil
|
Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10906
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.12, eingetragen 2021-12-23
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Abel,
\quoteon(2021-12-23 14:30 - Abel in Beitrag No. 11)
es hat ein wenig gedauert, bis ich die Nützlichkeit Deiner umgestellten Tangentengleichungen erkannt habe. Wenn ich mit diesen den Schnittpunkt der Tangenten berechne, erhalte ich S(m/2; c).
\quoteoff
Fast (rechne nochmal nach). Die korrekte Lösung ist \(M'\left(\frac{m}{2}\Big|-c\right)\).
\quoteon(2021-12-23 14:30 - Abel in Beitrag No. 11)
Der Schnittpunkt S ist identisch mit dem Punkt M' in meiner Zeichnung...
\quoteoff
Genau, deshalb habe ich ihn ja auch von vornherein M' genannt. 😉
\quoteon(2021-12-23 14:30 - Abel in Beitrag No. 11)
1. Ich erkenne noch nicht die Aussagekraft des Ergebnisses S(m/2; c). (m/2: die halbe Steigung der Geraden, c: y-Abschnitt der Geraden)
\quoteoff
Das ist auch für sich genommen noch nicht aussagekräftig. Interessant wird es erst, wenn du die Punkte A und M auch berechnet hast. Dann wirst du wie gesagt feststellen, dass alle drei auf einer senkrechten Geraden liegen und dass A genau in der Mitte zwischen M und M' liegt.
\quoteon(2021-12-23 14:30 - Abel in Beitrag No. 11)
2. Wäre es besser jetzt mit CAS umgehen zu lernen? Stellt CAS automatisch mein errechnetes Ergebnis für t_1 und t_2 um, so daß ich die bessere Version, die Du mir gesendet hast, erhalte?
\quoteoff
Na ja, zweckmäßig ist das heutzutage immer. Aber wenn man wirklich etwas beweisen möchte, dann sollte man es schon auch ohne hinbekommen (ich war da zu faul, um ganz ehrlich zu sein...).
CAS steht für Computer-Algebra-System und ist ein Oberbegriff für Programme, die symbolisch rechnen können. Gleichungen auflösen, ableiten, integrieren, usw.
\quoteon(2021-12-23 14:30 - Abel in Beitrag No. 11)
3. Um meine Ergebnisse besser darstellen zu können, muß ich mit dem Formel-Editor üben. Gibt es irgendwie Übungen für den Umgang mit dem Formel-Editor?
\quoteoff
Übungen in dem Sinn nicht. Die Hilfe zum fedgeo besteht jedoch aus sog. Lektionen, wo man zu jedem Thema einige Beispiele nachvollziehen kann.
Da der fed heutzutage nur noch wenig benutzt wird, empfiehlt es sich, sich ältere Threads anzusehen. Suche dir mal das eine oder andere von fru heraus, er hat ja den schwarzen Gürtel im fed. 😁
\quoteon(2021-12-23 14:30 - Abel in Beitrag No. 11)
Dankeschön für Deine Hilfe und schöne Feiertage.
\quoteoff
Vielen Dank! Das gleiche wünsche ich dir auch.
\quoteon(2021-12-23 14:30 - Abel in Beitrag No. 11)
BIS DEMNÄCHST AUF DIESEM BILDSCHIRM
\quoteoff
Gerne!
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
|
Profil
|
Abel
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 05.11.2005
Mitteilungen: 117
| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-23
|
Hallo Diophant,
ich werde die Aufgabe nachrechnen!
Bevor die Feiertage beginnen, würde ich noch gerne erfahren:
Wie berechne ich den Punkt A und M?
Wenn ich M' habe, bestimme ich die Parallele durch M' zur y-Achse, die die Parabel schneidet. Es leuchtet ein, daß beide Punkte dieselbe x-Koordinate haben. Um M zu erhalten, muß ich M' am Punkt A spiegeln.
Die errechneten Ergebnisse (oder Koordinaten) werden sicher keine großen Überraschungen geben. Jetzt habe ich vorausgesetzt, daß die Punkte auf einer Geraden parallel zur x-Achse liegen. Ich dachte die Schlußfolgerung wäre umgekehrt; ich errechne die Koordinaten und erst dann sehe ich, daß alle drei Punkte M, M' und A auf einer Geraden liegen.
gruß,
abel
|
Profil
|
Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10906
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.14, eingetragen 2021-12-23
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\quoteon(2021-12-23 16:13 - Abel in Beitrag No. 13)
Bevor die Feiertage beginnen, würde ich noch gerne erfahren:
Wie berechne ich den Punkt A und M?
Wenn ich M' habe, bestimme ich die Parallele durch M' zur y-Achse...
\quoteoff
Nein. Denn du weißt ja noch gar nicht, dass die beiden Punkte auf einer solchen Parallelen liegen.
Den Punkt M berechnest du, indem du den Mittelpunkt zwischen den beiden Schnittpunkten Parabel/Sekante ausrechnest (das sind die Schnittpunkte aus deinen Beiträgen #7 und #9).
Dabei wirst du dann feststellen, dass M die gleiche x-Koordinate hat wie M'. Aber das ist wie gesagt ein Teil von dem, was du beweisen möchtest.
Jetzt kann man den Punkt A berechnen. Der liegt ja nach Definition auf der Strecke \(\overline{MM'}\) und hat somit die gleiche x-Koordinate wie die beiden anderen Punkte. Das weiß man aber erst jetzt, nachdem man M und M' kennt.
Also kann man die y-Koordinate ausrechnen, indem man einfach m/2 in die Parabel einsetzt.
\quoteon(2021-12-23 16:13 - Abel in Beitrag No. 13)
Jetzt habe ich vorausgesetzt, daß die Punkte auf einer Geraden parallel zur x-Achse liegen. Ich dachte die Schlußfolgerung wäre umgekehrt; ich errechne die Koordinaten und erst dann sehe ich, daß alle drei Punkte M, M' und A auf einer Geraden liegen.
\quoteoff
Genau so ist es ja auch.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
|
Profil
|
| Abel hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. | | Abel wird per Mail über neue Antworten informiert. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
