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Mathematik » Numerik & Optimierung » QR-Zerlegung, Gleichungssystem
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Universität/Hochschule J QR-Zerlegung, Gleichungssystem
sina1357
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  Themenstart: 2021-12-22

Hallo zusammen, ich bearbeite folgende Aufgabe: Sei A = QR die QR-Zerlegung von A. Betrachte das Gleichungssystem \(\begin{pmatrix} I & A \\ A^T & 0 \\ \end{pmatrix}\)*\(\begin{pmatrix} r \\ x \\ \end{pmatrix}\)=\(\begin{pmatrix} b \\ 0 \\ \end{pmatrix}\), wobei \(r,b\in\mathbb{R}^m, x \in\mathbb{R}^n, A \in \mathbb{R}^{mxn}, I \in \mathbb{R}^{mxm}\) Löse dieses Gleichungssystem mithilfe der QR-Zerlegung von A. Mein Ansatz: Nach dem Einsetzen der Qr-Zerlegung habe ich mit \(z=Q^T*r\) erhalten \(\begin{pmatrix} Q & QR \\ R^T & 0 \\ \end{pmatrix}\)*\(\begin{pmatrix} z \\ x \\ \end{pmatrix}\)=\(\begin{pmatrix} b \\ 0 \\ \end{pmatrix}\). Jedoch weiß ich nicht, wie ich weiter vorgehen kann oder ob mein Vorgehen überhaupt zielführend war... Habt ihr Tipps für mich? Danke!

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AnnaKath
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-22

Huhu Sina, könntest Du das Gleichungssystem $Ms = t$ mit einer oberen Dreiecksmatrix $M$ und gegebenem $t$ für gesuchtes $s$ lösen? Höchstwahrscheinlich. Dann kannst Du sicher auf die (fast) gleiche Weise $R^T z = 0$ lösen. Dann bleibt eigentlich nur noch $QRx = b-Qz = b-r$ zu betrachten und hier solltest Du eine Idee haben. lg, AK

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sina1357
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-12-23

Hallo AnnaKath, vielen Dank für deine Hilfe! Jetzt konnte ich es lösen! Schönen Abend, Sina.

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sina1357 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
sina1357 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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