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 Konvergenzrate des einseitigen Differenzenquotienten |
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Mathler
Aktiv 
Dabei seit: 24.10.2020
Mitteilungen: 71
Wohnort: Österreich
 |  Themenstart: 2021-12-29
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Lieber Matheplanet,
ich sitze aktuell an einer Aufgabe bei der ich für den einseitigen Differenzenquotienten \(diff_h(f):=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\approx f'(x_0)\) die Konvergenzrate der Funktionen \(exp(x),sin(x)\) und \(g(x)=x|x|\) an \(x_0\)=0 für \(h \to 0\) berechnen ("beobachten") soll.
Weiters soll ich für hinreichend glatte Funktionen \(f\in C^k[x_0-\delta , x_0+\delta] \) mit \(k\geq 2\) , \(00 gibt, sodass |\(diff_h(f)-f'(x_0)\)|\(\leq Ch^p\) mit einer Rate p>0.
Zudem wird gefragt was das größt mögliche p ist und ob sich theoretisch auch eine größere Konvergenzrate einstellen könnte.
Mein Ansatz wäre folgender:
Ich habe das ganze Numerisch implementiert und würde für die Folge \(h_n:=\frac{h_{n-1}}{2} \) also in meinem Fall 2,1,0.5,0.25... eine Konvergenzrate von 0.5, 0.25, 0.5 für exp(x),sin(x) und g(x)=x*|x| bekommen, sprich der Fehler halbiert/viertelt sich bei halbem h.
Weiters habe ich gezeigt, dass mittels Taylor gilt, dass \(f'(x_0)=diff_h(f)+E(h)\) wobei \(E(h)=\frac{h}{2}f''(x)+...\) (Term von Taylor) und da man für kleine h die höheren Potenzen von h vernachlässigen kann wäre \(E(h) \approx \frac{h}{2}f''(x)\) wodurch der Fehler nur linear von h abhängt.
Daraus würde ich also schließen, dass die größtmögliche Rate p=1 ist, da der Fehler nur linear von h abhängt weiters schließe ich daraus, dass sich damit keine höhere Konvergenzrate als 1 einstellen kann.
Ich bin bei obigen Aussagen jedoch sehr unsicher, weiters würde ich Hilfe bei dem Beweis, dass es ein C>0 gibt benötigen.
Ich wäre sehr dankbar für eure Hilfe und würde mich auch über Literatur freuen.
LG Mathler
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Delastelle
Senior 
Dabei seit: 17.11.2006
Mitteilungen: 2248
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-12-30
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Hallo Mathler!
Der Vorwärtsdifferenzenquotient sollte einen linearen Fehler liefern.
Insofern sollte p = 1 richtig sein.
Siehe auch:
https://de.wikipedia.org/wiki/Differenzenquotient#Vorwärts
Viele Grüße
Ronald
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