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Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Konsistenz lineares Gleichungssystem
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Universität/Hochschule J Konsistenz lineares Gleichungssystem
math321
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  Themenstart: 2022-01-09

\(\begingroup\)\(\newcommand{\lv}{\left\lvert} \newcommand{\rv}{\right\rvert} \newcommand{\lV}{\left\lVert} \newcommand{\rV}{\right\rVert} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}}\) Hallo, gegeben ist folgendes Gleichungssystem und es wird gefragt, welche Einschränkung von $a$ die Konsistenz dieses Systems sicherstellt. $$ \begin{align*} 3x+4y+4z&=2\\ 3x+2y+3z&=3\\ 4x+5y+az&=4 \end{align*} $$ Ich bin so vorgegangen, dass ich das mit Gauß gelöst habe. Dazu habe ich die Matrix aufgeschrieben, $$ A=\begin{pmatrix}3 & 4 & 4 & 2\\3 & 2 &3 & 3\\4 & 5 & a & 4\end{pmatrix} $$ und dann diese Matrix durch geeignete Zeilentransformation verwandelt in $$ \begin{pmatrix}3 & 4 & 4 & 2\\0 & -2 & -1 & 1\\0 & 0 & a-\frac{31}{6} & \frac{7}{6}\end{pmatrix} $$ Damit in der letzten Zeile nicht $(0,0,0,7/6)$ steht, was bedeuten würde, dass es keine Lösung gibt, muss $a\neq 31/6$ gelten und das wäre daher die nötige Einschränkung an $a$. Liege ich damit richtig? Bye\(\endgroup\)


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-09

Hallo, vorbehaltlich der Korrektheit deiner Umformungen ist deine Antwort richtig. (Für Leser, denen die Eigenschaft konsistent in diesem Zusammenhang nicht vertraut ist: das bedeutet, dass die Lösungsmenge eines LGS nichtleer ist, also dass Lösungen existieren.) Gruß, Diophant


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